设α1=(1,2.0)T,α2=(1,a+2,-3a)T,α3=(-1,-b-2,a+2b)T,β=(1,3,-3)T.试讨论当a,b为何值时, (1)β不能用α1,α2,α3线性表示; (2)β能用α1,α2,α3唯一地线性表示,求表示式

admin2016-10-21  38

问题 设α1=(1,2.0)T,α2=(1,a+2,-3a)T,α3=(-1,-b-2,a+2b)T,β=(1,3,-3)T.试讨论当a,b为何值时,
    (1)β不能用α1,α2,α3线性表示;
    (2)β能用α1,α2,α3唯一地线性表示,求表示式;
    (3)β能用α1,α2,α3线性表示,且表示式不唯一,求表示式的一般形式.

选项

答案记A=(α1,α2,α3),则问题化归线性方程组AX=β解的情形的讨论及求解问题了. [*] (1)a=0(b任意)时 [*] 方程组AX=β无解,β不能用α1,α2,α3线性表示. (2)当a≠0,a≠b时,r(A|B)=r(A)=3,方程组AX=β唯一解,即β可用α1,α2,α3唯一表不. [*] AX=β的解为[*],于是β=[*] (3)当a=b≠0时r(A|B)=r(A)=2,AX=β有无穷多解,即β可用α1,α2,α3线性表示,且表示式不唯一. [*] AX=β有特解[*],而(0,1,1)T构成AX=0的基础解系,AX=β的通解为[*]+c(0,1,1)T,c任意, 即β=[*]α2+cα3,c任意.

解析
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