在区间[0,π]上讨论方程sin3xcosx=a(a>0)的实根的个数。

admin2021-04-16  43

问题 在区间[0,π]上讨论方程sin3xcosx=a(a>0)的实根的个数。

选项

答案为讨论方程在区间[0,π]上实根的个数,需研究函数的性态,特别是单调区间、极值等,以确定在[0,π]上相应的函数曲线的大致形状。设f(x)=sin3xcosx-a,则f(0)=f(π)=-a<0,且f’(x)=sin2x(2cos2x+1),f”(x)=sin2x(4cos2x-1),令f’(x)=0,解得f(x)在(0,π)内的驻点为x=π/3与x=2π/3,由于 [*] 可见,f(π/3)=[*]=a是极大值,f(2π/3)=-[*]-a是极小值,因此,当a<[*]时,方程有两实根,分别位于区间(0,π/3)与(π/3,2π/3)内; 当a=[*]时,方程仅有唯一实根如x0=π/3;当a>[*]时,方程无实根。

解析
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