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设a,b>0,反常积分∫0+∞dx收敛,则( )。
设a,b>0,反常积分∫0+∞dx收敛,则( )。
admin
2021-07-15
35
问题
设a,b>0,反常积分∫
0
+∞
dx收敛,则( )。
选项
A、a<1且b>1
B、a>1且b>1
C、a<1且a+b>1
D、a>1且a+b>1
答案
C
解析
①∫
0
1
dx:
②∫
1
+∞
dx:
对于①,盯着x→0
+
,x
p
的次数:
p≥1时,x
p
趋于0的速度过快,其倒数
趋于+∞的速度亦过快,积分发散;
0<p<1时,x
p
趋于0的速度不快,其倒数
趋于+∞的速度亦不快,积分收敛。
懂得了以上道理,便可有所发挥。如当x→0
+
时,sinx~x,这意味着sinx与x趋于0的速度一样,故∫
0
1
dx(有时命制成
)依然满足
事实上,凡是与x趋于0的速度一样的函数f(x)均可如上讨论。
对于②,盯着x→+∞时,x
p
的次数:
p>1时,x
p
趋于+∞的速度是够快,其倒数
趋于0的速度亦够快,积分收敛;
P≤1时,x
p
趋于+∞的速度不够快,其倒数
趋于0的速度亦不够快,积分发散。
这里的发挥简单些,如当x→+∞且a>0时,ax+b亦趋于+∞,与x趋于+∞的速度一样。
当ax+b≥k>0时,∫
1
+∞
依然满足
于是对于此题,
∫
1
+∞
dx=∫
0
1
dx+∫
1
+∞
dx=I
1
+I
2
对于I
1
,盯着x→0
+
看,此时2020+x→2020
+
,不是无穷小量,故只要看x
a
即可,即I
1
与∫
0
1
dx同敛散,于是可知a<1;
对于I
2
,盯着x→0
+
看,此时2020+x→+∞,且与x→+∞的速度一样,I
2
与∫
1
+∞
dx=∫
1
+∞
dx同敛散,于是可知a+b>1
综上所述,a<1且a+b>1,故选C.
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考研数学二
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