设a,b>0,反常积分∫0+∞dx收敛,则( )。

admin2021-07-15  24

问题 设a,b>0,反常积分∫0+∞dx收敛,则(     )。

选项 A、a<1且b>1
B、a>1且b>1
C、a<1且a+b>1
D、a>1且a+b>1

答案C

解析 ①∫01dx:
②∫1+∞dx:
对于①,盯着x→0+,xp的次数:
p≥1时,xp趋于0的速度过快,其倒数趋于+∞的速度亦过快,积分发散;
0<p<1时,xp趋于0的速度不快,其倒数趋于+∞的速度亦不快,积分收敛。
懂得了以上道理,便可有所发挥。如当x→0+时,sinx~x,这意味着sinx与x趋于0的速度一样,故∫01dx(有时命制成)依然满足

事实上,凡是与x趋于0的速度一样的函数f(x)均可如上讨论。
对于②,盯着x→+∞时,xp的次数:
p>1时,xp趋于+∞的速度是够快,其倒数趋于0的速度亦够快,积分收敛;
P≤1时,xp趋于+∞的速度不够快,其倒数趋于0的速度亦不够快,积分发散。
这里的发挥简单些,如当x→+∞且a>0时,ax+b亦趋于+∞,与x趋于+∞的速度一样。
当ax+b≥k>0时,∫1+∞依然满足
于是对于此题,
1+∞dx=∫01dx+∫1+∞dx=I1+I2
对于I1,盯着x→0+看,此时2020+x→2020+,不是无穷小量,故只要看xa即可,即I1与∫01dx同敛散,于是可知a<1;
对于I2,盯着x→0+看,此时2020+x→+∞,且与x→+∞的速度一样,I2与∫1+∞dx=∫1+∞dx同敛散,于是可知a+b>1
综上所述,a<1且a+b>1,故选C.
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