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(2012年)(Ⅰ)证明方程χn+χn-1…+χ=1(n为大于1的整数)在区间(,1)内有且仅有一个实根; (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为χn,证明χn存在,并求此极限.
(2012年)(Ⅰ)证明方程χn+χn-1…+χ=1(n为大于1的整数)在区间(,1)内有且仅有一个实根; (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为χn,证明χn存在,并求此极限.
admin
2021-01-19
83
问题
(2012年)(Ⅰ)证明方程χ
n
+χ
n-1
…+χ=1(n为大于1的整数)在区间(
,1)内有且仅有一个实根;
(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为χ
n
,证明
χ
n
存在,并求此极限.
选项
答案
(Ⅰ)令f(χ)=χ
n
+χ
n-1
+…+χ-1(n>1),则f(χ)在[[*],1]上连续,且 [*],f(1)=n-1>0, 由闭区间上连续函数的介值定理知,方程f(χ)=0在([*],1)内至少有一个实根. 当χ∈([*],1)时, f′(χ)=nχ
n-1
+(n-1)χ
n-2
+…+2χ+1>1>0, 故f(χ)在([*],1)内单调增加. 综上所述,方程f(χ)=0在([*],1)内有且仅有一个实根. (Ⅱ)由χ
n
∈([*],1)知数列{χ
n
}有界,又 χ
n
n
+χ
n
n-1
+…+χ
n
=1 χ
n
n
+χ
n
n-1
+χ
n+1
n-1
+…+χ
n+1
=1 因为χ>0,所以 χ
n
n
+χ
n
n-1
+…+χ
n
>χ
n+1
n
+χ
n+1
n-1
+…+χ
n+1
于是有 χ
n
>χ
n+1
,n=1,2…, 即{χ
n
}单调减少. 综上所述,数列{χ
n
}单调有界,故{χ
n
}收敛. 记a=[*]χ
n
.由于 [*] 令χ→∞并注意到[*]<χ
n
<χ
1
<1,则有 [*] 解得a=[*],即[*]
解析
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