(2012年)(Ⅰ)证明方程χn＋χn-1…＋χ＝1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根； (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为χn，证明χn存在，并求此极限．

admin2021-01-19 48

问题 (2012年)(Ⅰ)证明方程χⁿ＋χ^n-1…＋χ＝1(n为大于1的整数)在区间(

，1)内有且仅有一个实根；
(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为χ_n，证明

χ_n存在，并求此极限．

选项

答案(Ⅰ)令f(χ)＝χⁿ＋χ^n-1＋…＋χ－1(n＞1)，则f(χ)在[[*]，1]上连续，且 [*]，f(1)＝n－1＞0, 由闭区间上连续函数的介值定理知，方程f(χ)＝0在([*]，1)内至少有一个实根．当χ∈([*]，1)时， f′(χ)＝nχ^n-1＋(n－1)χ^n-2＋…＋2χ＋1＞1＞0，故f(χ)在([*]，1)内单调增加．综上所述，方程f(χ)＝0在([*]，1)内有且仅有一个实根． (Ⅱ)由χ_n∈([*]，1)知数列{χ_n}有界，又 χ_nⁿ＋χ_n^n-1＋…＋χ_n＝1 χ_nⁿ＋χ_n^n-1＋χ_n+1^n-1＋…＋χ_n+1＝1 因为χ＞0，所以 χ_nⁿ＋χ_n^n-1＋…＋χ_n＞χ_n+1ⁿ＋χ_n+1^n-1＋…＋χ_n+1 于是有 χ_n＞χ_n+1，n＝1，2…，即{χ_n}单调减少．综上所述，数列{χ_n}单调有界，故{χ_n}收敛．记a＝[*]χ_n．由于 [*] 令χ→∞并注意到[*]＜χ_n＜χ₁＜1，则有 [*] 解得a＝[*]，即[*]

解析

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考研数学二

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(2012年)(Ⅰ)证明方程χn＋χn-1…＋χ＝1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根； (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为χn，证明χn存在，并求此极限．

考研数学二

已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex．求曲线y=f(x2)∫0xf(-t2)dt的拐点．

设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，f()＝1，f(1)＝0．证明：(1)存在η∈(，1)，使得f(η)－η；(2)对任意的k∈(－∞，＋∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)－k[f(ξ)－ξ]＝1．

[*]

设函数f(x)连续，且∫0xf(t)dt=sin2x+∫0xtf(x－t)dt．求f(x)．

设A为三阶实对称矩阵，α1＝(m，－m，1)T是方程组Aχ＝0的解，α2＝(m，1，1－m)T是方程组(A＋E)χ＝0的解，则m＝________．

设η为非零向量，A=，η为方程组AX=0的解，则a=_，方程组的通解为_．

(1993年)设平面图形A由χ2＋y2≤2χ与y≥χ所确定，求图形A绕直线χ＝2旋转一周所得旋转体的体积。

(2011年)＝________．

[2011年]设函数f(x)=(λ＞0)，则∫-∞+∞xf(x)dx=_________．

_______是一种专门用来标记汽车电路接线实际位置、线路走向、线型色码的指示图。

伊朗著名哲理诗人萨迪的作品除《蔷薇园》以外，还有()

根据《城乡规划法》，下列表述不正确的是()。

海港工程的极端高水位应采用重现期为()的年极值高水位。

适用于室内饰面层、建筑物门厅及建筑物外饰面层的建筑装饰玻璃是()。

关于封闭式基金的上市交易条件的表述，不正确的是()。[2014年3月证券真题]

“第一”的雅称有()。

凡是龙腾酒店的保安均来自安徽，而龙腾酒店的服务员没有一个来自安徽，所有龙腾装修公司的工人都拥有大专文凭，有些龙腾酒店的保安拥有大专文凭。如果上述陈述都是真的，那么以下哪项必然为真?

DearSirs,Thisisthethirdmonthrunningthatyourdeliveryhasbeenlateinarriving.Ourcurrentorderforstationeryis

(2012年)(Ⅰ)证明方程χn＋χn-1…＋χ＝1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根； (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为χn，证明χn存在，并求此极限．

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设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，f()＝1，f(1)＝0．证明：(1)存在η∈(，1)，使得f(η)－η；(2)对任意的k∈(－∞，＋∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)－k[f(ξ)－ξ]＝1．

[*]

设函数f(x)连续，且∫0xf(t)dt=sin2x+∫0xtf(x－t)dt．求f(x)．

设A为三阶实对称矩阵，α1＝(m，－m，1)T是方程组Aχ＝0的解，α2＝(m，1，1－m)T是方程组(A＋E)χ＝0的解，则m＝________．

设η为非零向量，A=，η为方程组AX=0的解，则a=_______，方程组的通解为_______．

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(2011年)＝________．

[2011年]设函数f(x)=(λ＞0)，则∫-∞+∞xf(x)dx=_________．

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设η为非零向量，A=，η为方程组AX=0的解，则a=_，方程组的通解为_．

根据《城乡规划法》，下列表述不正确的是()。　