2. 考研
  3. 设当x∈[一1，1]时f(x)连续，F(x)=∫－11|x一t|f(t)dt，x∈[－1，1]． (Ⅰ)若f(x)为偶函数，证明：F(x)也是偶函数； (Ⅱ)若f(x)＞0(当－1≤x≤1)，证明：曲线y=F(x)在区间[－1，1]上是凹的．

设当x∈[一1，1]时f(x)连续，F(x)=∫－11|x一t|f(t)dt，x∈[－1，1]． (Ⅰ)若f(x)为偶函数，证明：F(x)也是偶函数； (Ⅱ)若f(x)＞0(当－1≤x≤1)，证明：曲线y=F(x)在区间[－1，1]上是凹的．

admin2020-03-08  15
问题 设当x∈[一1，1]时f(x)连续，F(x)=∫－11|x一t|f(t)dt，x∈[－1，1]．
(Ⅰ)若f(x)为偶函数，证明：F(x)也是偶函数；
(Ⅱ)若f(x)＞0(当－1≤x≤1)，证明：曲线y=F(x)在区间[－1，1]上是凹的．
选项
答案(Ⅰ)设f(x)为连续的偶函数，则 F(一x)=∫－11|一x一t|f(t)dt=∫－11|x+t|f(t)dt =∫－11|x一u{f(一du)(－du)一∫－11|x一u|f(u)du=F(x)? 所以F(x)也是偶函数． (Ⅱ)F(x)=∫－1x(x—t)f(t)dt+∫x1(t—x)f(t)dt =x∫－1xf(t)dt一∫－1xtf(t)dt+∫x1tf(t)dt一x∫x1f(t)dt， F’(x)=∫－1xf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+xf(x)一∫x1f(t)dt =∫－1xf(t)dt—∫x1f(t)dt， F"(x)=f(x)+f(x)=2f(x)＞0． 所以曲线y=F(x)在区间[一1，1]上是凹的．
解析
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考研数学一

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