设当x∈[一1,1]时f(x)连续,F(x)=∫-11|x一t|f(t)dt,x∈[-1,1]. (Ⅰ)若f(x)为偶函数,证明:F(x)也是偶函数; (Ⅱ)若f(x)>0(当-1≤x≤1),证明:曲线y=F(x)在区间[-1,1]上是凹的.

admin2020-03-08  13

问题 设当x∈[一1,1]时f(x)连续,F(x)=∫-11|x一t|f(t)dt,x∈[-1,1].
(Ⅰ)若f(x)为偶函数,证明:F(x)也是偶函数;
(Ⅱ)若f(x)>0(当-1≤x≤1),证明:曲线y=F(x)在区间[-1,1]上是凹的.

选项

答案(Ⅰ)设f(x)为连续的偶函数,则 F(一x)=∫-11|一x一t|f(t)dt=∫-11|x+t|f(t)dt =∫-11|x一u{f(一du)(-du)一∫-11|x一u|f(u)du=F(x)? 所以F(x)也是偶函数. (Ⅱ)F(x)=∫-1x(x—t)f(t)dt+∫x1(t—x)f(t)dt =x∫-1xf(t)dt一∫-1xtf(t)dt+∫x1tf(t)dt一x∫x1f(t)dt, F’(x)=∫-1xf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+xf(x)一∫x1f(t)dt =∫-1xf(t)dt—∫x1f(t)dt, F"(x)=f(x)+f(x)=2f(x)>0. 所以曲线y=F(x)在区间[一1,1]上是凹的.

解析
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