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①设α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt都是n维列向量组,记矩阵 A=(α1,α2,…,αs),B=(β1,β2,…,βt) 证明:存在矩阵C,使得AC =B的充分必要条件是r(α1,α2,…,αs;β1,β2,…,βt)=r(α1,α2,…,αs)
①设α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt都是n维列向量组,记矩阵 A=(α1,α2,…,αs),B=(β1,β2,…,βt) 证明:存在矩阵C,使得AC =B的充分必要条件是r(α1,α2,…,αs;β1,β2,…,βt)=r(α1,α2,…,αs)
admin
2017-11-22
72
问题
①设α
1
,α
2
,…,α
s
和β
1
,β
2
,…,β
t
都是n维列向量组,记矩阵
A=(α
1
,α
2
,…,α
s
),B=(β
1
,β
2
,…,β
t
)
证明:存在矩阵C,使得AC =B的充分必要条件是r(α
1
,α
2
,…,α
s
;β
1
,β
2
,…,β
t
)=r(α
1
,α
2
,…,α
s
).
已知矩阵方程AX=B有解,求a,b.并求它的一个解.
选项
答案
①根据向量组秩的性质, r(α
1
,α
2
,…,α
s
;β
1
,β
2
,…,β
t
)=r(α
1
,α
2
,…,α
s
) [*]β
1
,β
2
,…,β
t
可以用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示. 如果矩阵C使得AC =B,记C的(i,j)位元素为c
ij
,则 β
j
= c
1j
α
1
+c
2j
α
2
+…+c
sj
α
s
,j=1,2,…,s. 从而β
1
,β
2
,…,β
t
可以用α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示. 反之,如果β
1
,β
2
,…,β
t
可以用α
1
,α
2
,…,α
s
,线性表示,设 β
j
=c
1j
α
1
+c
2j
α
2
+…+c
sj
α
s
,j=1,2,…,s. 记C的(i,j)位元素为c
ij
的s×t的矩阵,则由矩阵乘法的定义,AC=B [*]
解析
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考研数学三
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