2. 考研
  3. 已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0，1，2，且P{X=2}=(1—θ)2，EX=2(1—θ)(θ为未知参数)．(I)试求X的概率分布；(Ⅱ)对X抽取容量为10的样本，其中5个取1，3个取2，2个取0，求θ的矩估计值、最大似然估计值．

已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0，1，2，且P{X=2}=(1—θ)2，EX=2(1—θ)(θ为未知参数)．(I)试求X的概率分布；(Ⅱ)对X抽取容量为10的样本，其中5个取1，3个取2，2个取0，求θ的矩估计值、最大似然估计值．

admin2018-11-20  51
问题 已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0，1，2，且P{X=2}=(1—θ)2，EX=2(1—θ)(θ为未知参数)．(I)试求X的概率分布；(Ⅱ)对X抽取容量为10的样本，其中5个取1，3个取2，2个取0，求θ的矩估计值、最大似然估计值．
选项
答案(I)设X的概率分布为P{X=0}=p0，P{X=1}=p1，P{X=2}=p2，由题设知p2=(1—θ)2，又EX=2(1—θ)=0×p0+1×p1+2p2=p1+2p2=p1+2(1—θ)2，解得p1=2(1—θ)一2(1—θ)2=2θ(1—θ)，而p0+p1+p2=1，所以p0=1—p1—p2=θ2，X的概率分布为 [*] (Ⅱ)应用定义求矩估计值、最大似然估计值．令μ=EX=2(1—θ)，解得[*]于是θ的矩估计量[*]将样本值代入得θ的矩估计值为[*]即θ的矩估计值[*] 又样本值的似然函数 L(x1，…，x10；θ)=[*]P{X=xi，θ}=[2θ(1一θ]5(1一θ)6θ4=25θ9(1一θ)11，lnL=5ln2+9lnθ+11ln(1—θ)， 令[*]解得θ最大似然估计值[*]
解析
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考研数学三

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