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设总体X的概率密度为 其中参数为λ,X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,求未知参数λ的矩估计和最大似然估计。
设总体X的概率密度为 其中参数为λ,X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,求未知参数λ的矩估计和最大似然估计。
admin
2020-02-27
18
问题
设总体X的概率密度为
其中参数为λ,X
1
,X
2
,…,X
n
是来自总体X的简单随机样本,求未知参数λ的矩估计和最大似然估计。
选项
答案
最大似然估计法的求解步骤:第一步,写出样本的似然函数 [*]。 第二步,求出使L(θ)达到最大值的θ
1
,…,θ
K
。 (Ⅰ)由于L(θ)与lnL(θ)在同一θ处取到极值,则如果L(θ)或lnL(θ)关于ι可微,则θ可以从方程[*]=0或[*]=0中解得,若总体X的分布中含有K个未知参数θ
1
,θ
2
,…,θ
k
,则θ(i=1,2,…,k)可以由似然方程组[*]=0或[*]=0(i=1,2,…,k)解得,从而得到θ
i
的最大似然估计量 [*]。 (Ⅱ)如果p(X
i
;θ
1
,…,θ
k
)或f(x
i
;θ
1
,…,θ
k
)关于θ
i
不可微,或似然方程无解,此时应考虑利用似然函数的单调性找到极值点。由题可知E(X)=[*],所以λ的矩估计量为[*]。 设样本X
1
,X
2
,…,X
n
的一组取值为x
1
,x
2
,…,x
n
,则似然函数为 L(x
1
,x
2
,…,x
n
;λ)=[*], [*], 当[*]=0时,得λ的最大似然估计量为[*]。
解析
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考研数学三
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