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28.已知矩阵A=有特征值λ=5,求a的值;当a>0时,求正交矩阵Q,使Q-1AQ=A。
28.已知矩阵A=有特征值λ=5,求a的值;当a>0时,求正交矩阵Q,使Q-1AQ=A。
admin
2021-11-09
42
问题
28.已知矩阵A=
有特征值λ=5,求a的值;当a>0时,求正交矩阵Q,使Q
-1
AQ=A。
选项
答案
因λ=5是矩阵A的特征值,则由 |5E一A|=[*]=3(4一a
2
)=0, 可得a=±2。 当a=2时,矩阵A的特征多项式 |λE一A|=[*]=(λ一2)(λ一5)(λ一1), 矩阵A的特征值是1,2,5。 由(E一A)x=0得基础解系α
1
=(0,1,一1)
T
;由(2E一A)x=0得基础解系α
2
=(1,0,0)
T
; 由(5E—A)x=0得基础解系α
3
=(0,1,1)
T
。即矩阵A属于特征值1,2,5的特征向量分别是α
1
,α
2
,α
3
。 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交,故只需单位化,则 [*]
解析
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考研数学二
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