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设α=(a1,a2,…,an)T为Rn中的非零向量,方阵A=ααT. (1)证明:对于正整数m,存在常数t,使Am=tm—1A,并求出t; (2)求可逆矩阵P,使P—1AP为对角阵A.
设α=(a1,a2,…,an)T为Rn中的非零向量,方阵A=ααT. (1)证明:对于正整数m,存在常数t,使Am=tm—1A,并求出t; (2)求可逆矩阵P,使P—1AP为对角阵A.
admin
2016-04-11
76
问题
设α=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
为R
n
中的非零向量,方阵A=αα
T
.
(1)证明:对于正整数m,存在常数t,使A
m
=t
m—1
A,并求出t;
(2)求可逆矩阵P,使P
—1
AP为对角阵A.
选项
答案
(1)A
m
=(αα
T
)(αα
T
)…(αα
T
)=α(α
T
α)
m—1
α
T
=(α
T
α)
m—1
(αα
T
)=([*])
m—1
A=t
m—1
A,其中t=[*].(2)A≠O,A=A,1≤r(A):r(αα
T
)≤r(α)=1,→r(A)=1,由于实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩,故矩阵A只有一个非零特征值,而有n一1重特征值λ
1
=λ
2
=…=λ
n—1
=0.A的属于特征值0的线性无关特征向量可取为(设a
1
≠0):ξ
1
= [*]的特征值为α,令矩阵P=[ξ
1
ξ
2
… ξ
n—1
α],则有PAP=diag(0,0,…,0,[*]对角阵.其中,λ
n
的求法可利用特征值的性质:λ
1
+λ
2
+…+λ
n—1
+λ
n
=(A的主对角线元素之和)[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0Aw4777K
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