设α=(a1,a2,…,an)T为Rn中的非零向量,方阵A=ααT. (1)证明:对于正整数m,存在常数t,使Am=tm—1A,并求出t; (2)求可逆矩阵P,使P—1AP为对角阵A.

admin2016-04-11  47

问题 设α=(a1,a2,…,an)T为Rn中的非零向量,方阵A=ααT
    (1)证明:对于正整数m,存在常数t,使Am=tm—1A,并求出t;
    (2)求可逆矩阵P,使P—1AP为对角阵A.

选项

答案(1)Am=(ααT)(ααT)…(ααT)=α(αTα)m—1αT=(αTα)m—1(ααT)=([*])m—1A=tm—1A,其中t=[*].(2)A≠O,A=A,1≤r(A):r(ααT)≤r(α)=1,→r(A)=1,由于实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩,故矩阵A只有一个非零特征值,而有n一1重特征值λ12=…=λn—1=0.A的属于特征值0的线性无关特征向量可取为(设a1≠0):ξ1= [*]的特征值为α,令矩阵P=[ξ1 ξ2 … ξn—1 α],则有PAP=diag(0,0,…,0,[*]对角阵.其中,λn的求法可利用特征值的性质:λ12+…+λn—1n=(A的主对角线元素之和)[*]

解析
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