2. 考研
  3. 设α=(a1，a2，…，an)T为Rn中的非零向量，方阵A=ααT． (1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am=tm—1A，并求出t； (2)求可逆矩阵P，使P—1AP为对角阵A．

设α=(a1，a2，…，an)T为Rn中的非零向量，方阵A=ααT． (1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am=tm—1A，并求出t； (2)求可逆矩阵P，使P—1AP为对角阵A．

admin2016-04-11  89
问题 设α=(a1，a2，…，an)T为Rn中的非零向量，方阵A=ααT．
    (1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am=tm—1A，并求出t；
    (2)求可逆矩阵P，使P—1AP为对角阵A．
选项
答案(1)Am=(ααT)(ααT)…(ααT)=α(αTα)m—1αT=(αTα)m—1(ααT)=([*])m—1A=tm—1A，其中t=[*]．(2)A≠O，A=A，1≤r(A)：r(ααT)≤r(α)=1，→r(A)=1，由于实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩，故矩阵A只有一个非零特征值，而有n一1重特征值λ1=λ2=…=λn—1=0．A的属于特征值0的线性无关特征向量可取为(设a1≠0)：ξ1= [*]的特征值为α，令矩阵P=[ξ1 ξ2 … ξn—1 α]，则有PAP=diag(0，0，…，0，[*]对角阵．其中，λn的求法可利用特征值的性质：λ1+λ2+…+λn—1+λn=(A的主对角线元素之和)[*]
解析
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考研数学一

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