设α=(a1，a2，…，an)T为Rn中的非零向量，方阵A=ααT． (1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am=tm—1A，并求出t； (2)求可逆矩阵P，使P—1AP为对角阵A．

admin2016-04-11 81

问题设α=(a₁，a₂，…，a_n)^T为Rⁿ中的非零向量，方阵A=αα^T．
(1)证明：对于正整数m，存在常数t，使A^m=t^m—1A，并求出t；
(2)求可逆矩阵P，使P^—1AP为对角阵A．

选项

答案(1)A^m=(αα^T)(αα^T)…(αα^T)=α(α^Tα)^m—1α^T=(α^Tα)^m—1(αα^T)=([*])^m—1A=t^m—1A，其中t=[*]．(2)A≠O，A=A，1≤r(A)：r(αα^T)≤r(α)=1，→r(A)=1，由于实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩，故矩阵A只有一个非零特征值，而有n一1重特征值λ₁=λ₂=…=λ_n—1=0．A的属于特征值0的线性无关特征向量可取为(设a₁≠0)：ξ₁= [*]的特征值为α，令矩阵P=[ξ₁ ξ₂ … ξ_n—1 α]，则有PAP=diag(0，0，…，0，[*]对角阵．其中，λ_n的求法可利用特征值的性质：λ₁+λ₂+…+λ_n—1+λ_n=(A的主对角线元素之和)[*]

解析

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考研数学一

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设α=(a1，a2，…，an)T为Rn中的非零向量，方阵A=ααT． (1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am=tm—1A，并求出t； (2)求可逆矩阵P，使P—1AP为对角阵A．

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