2. 考研
  3. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向光滑曲线，其起点为点(a，b)，终点为点(c，d)，记 当ab=cd时，求I的值．

设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向光滑曲线，其起点为点(a，b)，终点为点(c，d)，记 当ab=cd时，求I的值．

admin2022-07-21  127
问题 设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向光滑曲线，其起点为点(a，b)，终点为点(c，d)，记
   
当ab=cd时，求I的值．
选项
答案方法一 由于积分与路径无关，故可取路径L为由点(a，b)到点(c，b)再到点(c，d)的折线段，所以 [*] 令t=bx，则b∫acf(bx)dx=∫abbcf(t)dt．同理，c∫bdf(cy)dy=∫bccdf(t)dt，于是 [*] 由ab=cd得∫abcdf(t)dt=0，于是[*] 方法二 取积分路径L为上半平面内由点(a，b)到点(c，b)的双曲线xy=ab=cd，则 [*] 方法三 I=∫Lyf(xy)dx+xf(xy)dy+[*]，设F(x)为f(x)的一个原函数，则 ∫Lyf(xy)dx+xf(xy)dy=∫Lf(xy)(ydx+xdy) =∫Lf(xy)d(xy)=F(xy)｜(a，b)(c，d)=F(cd)-F(ab) 当ab=cd时，∫Lyf(xy)dx+xf(xy)dy=0． [*]
解析
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考研数学三

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