设f(x)＝ (Ⅰ)讨论f(x)的连续性，若有间断点，则指出间断点的类型； (Ⅱ)判断f(x)在(﹣∞，1]是否有界，并说明理由。

admin2020-02-28 58

问题设f(x)＝

(Ⅰ)讨论f(x)的连续性，若有间断点，则指出间断点的类型；
(Ⅱ)判断f(x)在(﹣∞，1]是否有界，并说明理由。

选项

答案(Ⅰ)当x≠0，x≠1时，显然f(x)连续。在x＝0处，由 [*] 故f(x)在点x＝0处不连续，且点x＝0是f(x)的第一类间断点。在x＝1处，由 [*] 得f(1＋0)＝f(1－0)＝1＋∫₀¹e^﹣t²dt，故f(x)在点x＝1处既左连续又右连续，于是f(x)在点x＝1处连续。因此f(x)在(﹣∞，0)∪(0，﹢∞)上连续，点x＝0是f(x)的第一类间断点。 (Ⅱ)在第(Ⅰ)问中已求得f(x)在(﹣∞，0)∪(0，﹢∞)上连续，且[*]f(x)存在，要断f(x)在(﹣∞，1]上的有界性，只需考查[*]f(x)是否存在，即 [*]，因为f(x)在(﹣∞，0]上连续，且[*]f(x)存在，则f(x)在(﹣∞，0]上有界。f(x)在(0，1]上连续，且[*]f(x)存在，则f(x)在(0，1]上有界。综上f(x)在(﹣∞，1]上有界。

解析

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考研数学二

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