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设f(x)= (Ⅰ)讨论f(x)的连续性,若有间断点,则指出间断点的类型; (Ⅱ)判断f(x)在(﹣∞,1]是否有界,并说明理由。
设f(x)= (Ⅰ)讨论f(x)的连续性,若有间断点,则指出间断点的类型; (Ⅱ)判断f(x)在(﹣∞,1]是否有界,并说明理由。
admin
2020-02-28
55
问题
设f(x)=
(Ⅰ)讨论f(x)的连续性,若有间断点,则指出间断点的类型;
(Ⅱ)判断f(x)在(﹣∞,1]是否有界,并说明理由。
选项
答案
(Ⅰ)当x≠0,x≠1时,显然f(x)连续。在x=0处,由 [*] 故f(x)在点x=0处不连续,且点x=0是f(x)的第一类间断点。 在x=1处,由 [*] 得f(1+0)=f(1-0)=1+∫
0
1
e
﹣t
2
dt,故f(x)在点x=1处既左连续又右连续,于是f(x)在点x=1处连续。 因此f(x)在(﹣∞,0)∪(0,﹢∞)上连续,点x=0是f(x)的第一类间断点。 (Ⅱ)在第(Ⅰ)问中已求得f(x)在(﹣∞,0)∪(0,﹢∞)上连续,且[*]f(x)存在,要断f(x)在(﹣∞,1]上的有界性,只需考查[*]f(x)是否存在,即 [*], 因为f(x)在(﹣∞,0]上连续,且[*]f(x)存在,则f(x)在(﹣∞,0]上有界。f(x)在(0,1]上连续,且[*]f(x)存在,则f(x)在(0,1]上有界。综上f(x)在(﹣∞,1]上有界。
解析
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考研数学二
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