在一个围棋擂台赛中,甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂,每人一局甲先开始,直到将擂主丙攻下为止,规定只要丙输一局则为守擂失败,如果甲、乙对丙的胜率分别为p1与p2(0<p1,p2<1).求: (Ⅰ)甲攻擂次数X1的概率分布; (Ⅱ)乙攻擂次

admin2018-06-12  34

问题 在一个围棋擂台赛中,甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂,每人一局甲先开始,直到将擂主丙攻下为止,规定只要丙输一局则为守擂失败,如果甲、乙对丙的胜率分别为p1与p2(0<p1,p2<1).求:
    (Ⅰ)甲攻擂次数X1的概率分布;
    (Ⅱ)乙攻擂次数X2的概率分布;
    (Ⅲ)擂主丙对甲、乙二人守擂总次数X3的概率分布.
    (Ⅳ)假设乙对丙的胜率p2是1/4,若使甲、乙二人攻擂成功概率相等,求甲对丙的胜率.

选项

答案(Ⅰ)由于每次对局的胜率都不受其他局胜、负的影响,故这是一个独立试验序列问题. 事件“X1=n”表示“甲与丙对阵n局”即“甲、乙各自与丙在前n-1次对局中均失败,在第n次对局中甲胜丙”或“甲、乙各自与丙在前n-1次对局中均失败,在第n次甲、丙对局中甲失败,但在乙、丙第n次对局中乙胜丙”,则 P{X1=n}=(q1q2)n-1(p1+q1p2),n=1,2,…. 其中qi=1-pi,i=1,2. (Ⅱ)“X2=0”表示甲与丙第一次对局攻擂成功,乙未上场.P{X2=0}=p1;“X2=n”(n≥1)表示“甲、乙与丙各对阵n-1次均失败,甲、丙第n次对阵中甲又失败,但乙、丙第n次对阵中乙胜丙”或者“甲、乙与丙各对阵n次均失败.甲在第n+1次与丙再对阵时胜丙”,则 P{X2=n}=(q1q2)n-1(q1p2+q1q2p1)=q1(p2+q2p1)(q1q2)n-1,n=1,2,…. (Ⅲ)显然若丙的守擂次数为奇数,则表示甲攻擂成功,否则为乙攻擂成功. “X3=2n-1”表示“丙在前2n-2次守擂均成功,第2n-1次守擂失败”,即“甲、乙先与丙各对局n-1次均失败,而在甲与丙的第n次对局中甲胜丙”,因此有 P{X3=2n-1}=(q1q2)n-1p1,n=1,2,…. 类似分析可知P{X3=2n}=(q1q2)n-1q1p2,n=1,2,…. (Ⅳ)设事件A表示“甲攻擂成功”,则 [*] 若要甲、乙二人攻擂胜率相同,则P(A)=1/2,即 [*] 将p2=1/4代入上式,得p1=1/5. 或[*] 甲、乙胜率相同的充分必要条件是P(A)=P([*]),即 [*]

解析
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