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(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，a33k；f(A)的对角线元素为f(
(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，a33k；f(A)的对角线元素为f(
admin
2019-08-12
41
问题
(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积．
(2)证明上三角矩阵A的方幂A
k
与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且A
k
的对角线元素为a
11
k
，a
22
k
，…，a
33
k
；f(A)的对角线元素为f(a
11
)，f(a
22
)，…，f(a
nn
)．
(a
11
，a
22
，…，a
nn
是A的对角线元素．)
选项
答案
(1)方法一 设A和B都是n阶上三角矩阵，C=AB，要说明C的对角线下的元素都为0，即i＞j时，c
ij
=0．c
ij
=A的第i个行向量和B的第j个列向量对应分量乘积之和．由于A和B都是n阶上三角矩阵，A的第i个行向量的前面i-1个分量都是0，B的第j个列向量的后面n-j个分量都是0，而i-1+n-j=n+(i-j-1)≥n，因此c
ij
=0． c
ii
=a
i1
b
1i
+…+a
ii-1
b
i-1i
+a
ii
b
ii
+a
ii+1
+b
i+1i
+…+a
in
b
ni
=a
ii
b
ii
(a
i1
=…=a
ii-1
=0，b
i+1i
=…=b
ni
=0)． 方法二 设A=(α
1
，α
2
，…，α
n
)，B=(β
1
，β
2
，…，β
n
)，C=(γ
1
，γ
2
，…，γ
n
)．要证明每个γ
i
下面的n-i个分量都是0． 由(2．1)，γ
i
=Aβ
i
．而β
i
的下面n-i个分量都是0，于是用(2．2) γ
i
=b
1i
α
1
+b
2i
α
2
+…+b
ii
α
i
． 则因为α
1
，α
2
，…，α
i
的下面n-i个分量都是0，所以γ
i
的下面n-i个分量也都是0． 并且γ
i
的第i个分量是(C的一个对角线元素) c
i
=b
1i
a
i1
+b
2i
a
i2
+…+b
ii
a
ii
=a
ii
b
ii
． (因为a
i1
=a
i2
=…=a
ii-1
=0．) (2)设A是上三角矩阵．由(1)，直接可得A
k
是上三角矩阵，并且对角线元素为a
11
k
，a
22
k
，…，a
nn
k
． 设f(A)=a
m
A
m
+a
m-1
A
m-1
+…+a
1
A+a
0
E.a
i
A
i
都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A)也是上三角矩阵．f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是f(a
11
)，f(a
22
)，…，f(a
nn
)．
解析
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考研数学二
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