2. 考研
  3. (1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，a33k；f(A)的对角线元素为f(

(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，a33k；f(A)的对角线元素为f(

admin2019-08-12  57
问题 (1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积．
(2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，a33k；f(A)的对角线元素为f(a11)，f(a22)，…，f(ann)．
    (a11，a22，…，ann是A的对角线元素．)
选项
答案(1)方法一 设A和B都是n阶上三角矩阵，C=AB，要说明C的对角线下的元素都为0，即i＞j时，cij=0．cij=A的第i个行向量和B的第j个列向量对应分量乘积之和．由于A和B都是n阶上三角矩阵，A的第i个行向量的前面i-1个分量都是0，B的第j个列向量的后面n-j个分量都是0，而i-1+n-j=n+(i-j-1)≥n，因此cij=0． cii=ai1b1i+…+aii-1bi-1i+aiibii+aii+1+bi+1i+…+ainbni =aiibii(ai1=…=aii-1=0，bi+1i=…=bni=0)． 方法二 设A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，C=(γ1，γ2，…，γn)．要证明每个γi下面的n-i个分量都是0． 由(2．1)，γi=Aβi．而βi的下面n-i个分量都是0，于是用(2．2) γi=b1iα1+b2iα2+…+biiαi． 则因为α1，α2，…，αi的下面n-i个分量都是0，所以γi的下面n-i个分量也都是0． 并且γi的第i个分量是(C的一个对角线元素) ci=b1iai1+b2iai2+…+biiaii=aiibii． (因为ai1=ai2=…=aii-1=0．) (2)设A是上三角矩阵．由(1)，直接可得Ak是上三角矩阵，并且对角线元素为a11k，a22k，…，annk． 设f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E.aiAi都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A)也是上三角矩阵．f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是f(a11)，f(a22)，…，f(ann)．
解析
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考研数学二

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