设A为n阶方阵，秩(A)=r＜n，且满足A2=2A，证明：A必相似于对角矩阵．

admin2018-07-27 39

问题设A为n阶方阵，秩(A)=r＜n，且满足A²=2A，证明：A必相似于对角矩阵．

选项

答案由秩(A)=r＜n，知方程组Ax=0的基础解系含n－r个向量：ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r．因此，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r，就是A的对应于特征值0的n－r个线性无关的特征向量．设A按列分块为A=[α₁ α₂ …α_n]，则题设条件AA=2A就是[Aα₁ Aα₂…Aα_n]=[2α₁ 2α₂…2α_n]，由Aα_j=2α_j，知A的列向量组的极大无关组[*]就是A的对应于特征值2的r个线性无关特征向量．再由特征值的性质，知ξ₁，…，ξ_n－r，[*]就是n阶方阵A的n个线性无关特征向量，所以，A必相似于对角矩阵．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0HW4777K

考研数学三

相关试题推荐

设A是n阶反对称矩阵，证明(E-A)(E+A)-1是正交矩阵．
设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．(Ⅰ)计算并化简PQ；(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．
判断下列结论是否正确，并证明你的判断．(Ⅰ)设当n＞N时xn＜yn，已知极限均存在，则A＜B；(Ⅱ)设f(x)在(a，b)有定义，又存在c∈(a，b)使得极限，则f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若=∞．则存在δ＞0．使得当0＜｜x-a｜＜δ时有界．
试确定a和b的值，使f(x)=有无穷间断点x=0，有可去间断点x=1．
求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解：(Ⅰ)2y’’+y’-y=0；(Ⅱ)y’’+8y’+16y=0；(Ⅲ)y’’-2y’+3y=0．
求微分方程y’’+2y’-3y=ex+x的通解．
已知线性方程组的通解是(2，1，0，3)T+k(1，-1，2，0)T，如令αi=(ai，bi，ci，di)T，i=1，2，…，5．试问：(Ⅰ)α1能否由α2，α3，α4线性表出?(Ⅱ)α4能否由α1，α2，α3线性表出?并说明理由．
已知β可用α1，α2，…，αm线性表示，但不能用α1，α2，…，αm-1表出，试判断：(Ⅰ)αm能否用α1，α2，…，αm-1，β线性表示；(Ⅱ)αm能否用α1，α2，…，αm-1线性表示，并说明理由．
已知α1，α2，…，αs是互不相同的数，n维向量αi=(1，αi，αi2，…，αin-1)T(i=1，2，…，s)，求向量组α1，α2，…，αs的秩．
设α1，α2，α3均为3维列向量，记矩阵A=(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)，如果｜A｜=1，那么｜B｜=______．

随机试题

A．寒邪袭表，郁遏卫气，损伤营阴B．风寒袭表，营卫不和，正邪交争C．风寒袭表，郁遏卫气，损伤营阴D．风寒外袭，卫外不固，营不内守太阳中风证的主要病机是
胰腺癌患者健康教育评价中，贯穿健康教育计划全程的是
商业汇票按照承兑人不同分为(　　)。
外汇期货的投机交易，主要是通过()等方式进行的。
发行可转换公司债券的上市公司最近3个会计年度实现的年均可分配利润不少于()。
1/8，1/6，9/22，27/40，()
①阳光虽然为生命所______，但是阳光中的紫外线却有扼杀原始生命的危险。②由于历史的原因，西藏经济比内地落后，比沿海发达地区______落后。③古今______不容混同，但古人生活中许多相对真理，也______包含着绝对真理的因素。
(2017年第37题)结合材料回答问题：2015年五一劳动节前夕，央视新闻频道播出了《大国工匠》系列节目，讲述了8个工匠“八双劳动的手”所缔造的“神话”。节目播出之后，很快引起社会热议，在不到十天的时间里，相关话题的微博阅读量就超过了3560万
《孙子兵法》说：“投入亡地然后存，陷入死地而后生。”韩信根据这条兵法背水一战，击退了赵国军队；马谡根据这条兵法屯兵山下，却丢掉了街亭这一战略要地。两人对同一军事理论运用的结果截然不同，这表明
阅读下列说明，回答问题，将解答填入答题纸的对应栏内。【说明】访问控制是保障信息系统安全的主要策略之一，其主要任务是保证系统资源不被非法使用和非常规访问。访问控制规定了主体对客体访问的限制，并在身份认证的基础上，对用户提出的资源访问请求加以控制。当前，主

最新回复(0)

设A为n阶方阵，秩(A)=r＜n，且满足A2=2A，证明：A必相似于对角矩阵．

考研数学三

设A是n阶反对称矩阵，证明(E-A)(E+A)-1是正交矩阵．

设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．(Ⅰ)计算并化简PQ；(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

判断下列结论是否正确，并证明你的判断．(Ⅰ)设当n＞N时xn＜yn，已知极限均存在，则A＜B；(Ⅱ)设f(x)在(a，b)有定义，又存在c∈(a，b)使得极限，则f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若=∞．则存在δ＞0．使得当0＜｜x-a｜＜δ时有界．

试确定a和b的值，使f(x)=有无穷间断点x=0，有可去间断点x=1．

求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解：(Ⅰ)2y’’+y’-y=0；(Ⅱ)y’’+8y’+16y=0；(Ⅲ)y’’-2y’+3y=0．

求微分方程y’’+2y’-3y=ex+x的通解．

已知线性方程组的通解是(2，1，0，3)T+k(1，-1，2，0)T，如令αi=(ai，bi，ci，di)T，i=1，2，…，5．试问：(Ⅰ)α1能否由α2，α3，α4线性表出?(Ⅱ)α4能否由α1，α2，α3线性表出?并说明理由．

已知β可用α1，α2，…，αm线性表示，但不能用α1，α2，…，αm-1表出，试判断：(Ⅰ)αm能否用α1，α2，…，αm-1，β线性表示；(Ⅱ)αm能否用α1，α2，…，αm-1线性表示，并说明理由．

已知α1，α2，…，αs是互不相同的数，n维向量αi=(1，αi，αi2，…，αin-1)T(i=1，2，…，s)，求向量组α1，α2，…，αs的秩．

设α1，α2，α3均为3维列向量，记矩阵A=(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)，如果｜A｜=1，那么｜B｜=______．

A．寒邪袭表，郁遏卫气，损伤营阴B．风寒袭表，营卫不和，正邪交争C．风寒袭表，郁遏卫气，损伤营阴D．风寒外袭，卫外不固，营不内守太阳中风证的主要病机是

胰腺癌患者健康教育评价中，贯穿健康教育计划全程的是

商业汇票按照承兑人不同分为( )。

外汇期货的投机交易，主要是通过()等方式进行的。

发行可转换公司债券的上市公司最近3个会计年度实现的年均可分配利润不少于()。

1/8，1/6，9/22，27/40，()

《孙子兵法》说：“投入亡地然后存，陷入死地而后生。”韩信根据这条兵法背水一战，击退了赵国军队；马谡根据这条兵法屯兵山下，却丢掉了街亭这一战略要地。两人对同一军事理论运用的结果截然不同，这表明

商业汇票按照承兑人不同分为(　　)。