已知α1=(1,4,0,2)T,α2=(2,7,1,3)T,α3=(0,1,一1,a)T,β=(3,10,b,4)T. (1)a,b取何值时,β不能由α1,α2,α3线性表示? (2)a,b取何值时,β可由α1,α2,α3线性表示?写出此表示式.

admin2020-09-25  47

问题 已知α1=(1,4,0,2)T,α2=(2,7,1,3)T,α3=(0,1,一1,a)T,β=(3,10,b,4)T
  (1)a,b取何值时,β不能由α1,α2,α3线性表示?
  (2)a,b取何值时,β可由α1,α2,α3线性表示?写出此表示式.

选项

答案设x1α1+x2α2+x3α3=β,则有方程组 [*] 对方程组的增广矩阵施以初等行变换, [*] 所以, (1)当b≠2时,R(A)≠R(B),方程组无解,从而可得β不能由α1,α2,α3线性表示. (2)当b=2时,R(A)=R(B),方程组有解,从而可得β可由α1,α2,α3线性表示. [*] 原方程组可变为[*]所以方程组的通解为[*] 从而β=(一2k一1)α1+(k+2)α2+kα3,k∈R [*] 所以方程组的解为[*]所以β=一α1+2α2

解析
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