2. 考研
  3. 设抛物线y=－x2+Bx+C与x轴有两个交点x=a,x=b(a＜b)，又f(x)在[a,b]上有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，若曲线y=f(x)与y=－x2+Bx+C在(a,b)内有一个交点，求证：在(a,b)内存在一点ξ，使得f"(ξ)+2=0.

设抛物线y=－x2+Bx+C与x轴有两个交点x=a,x=b(a＜b)，又f(x)在[a,b]上有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，若曲线y=f(x)与y=－x2+Bx+C在(a,b)内有一个交点，求证：在(a,b)内存在一点ξ，使得f"(ξ)+2=0.

admin2022-09-05  37
问题 设抛物线y=－x2+Bx+C与x轴有两个交点x=a,x=b(a＜b)，又f(x)在[a,b]上有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，若曲线y=f(x)与y=－x2+Bx+C在(a,b)内有一个交点，求证：在(a,b)内存在一点ξ，使得f"(ξ)+2=0.
选项
答案如图所示， [*] 设y=f(x)与y=－x2+Bx+C在(a,b)内的交点为(c,f(c))(a＜c＜b).作辅助函数ψ(x)=f(x)－(－x2+ Bx+C), 由题设条件知ψ(x)在[a,b]上也有二阶导数,且ψ(a)= ψ(c)= ψ(b)=0. 由罗尔定理可知，存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b)使得 ψ’(ξ1)=f’(ξ1)+2ξ1－B=0 ψ’(ξ2)=f’(ξ2)+2ξ2－B=0 将函数ψ’(x)在[ξ1,ξ2]上应用罗尔定理，知存在ξ∈(ξ1,ξ2)使得 ψ"（ξ）=f"(ξ)+2=0,a＜ξ1＜ξ＜ξ2＜b 即f"(ξ)+2=0.
解析
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考研数学三

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