设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)>0．将曲线y＝f(x)，x＝1，x＝a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为[a2f(a)－f(1)]．若f(1)＝，求： f(x)；

admin2019-11-25 56

问题设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)>0．将曲线y＝f(x)，x＝1，x＝a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为

[a²f(a)－f(1)]．若f(1)＝

，求：
f(x)；

选项

答案由题设知，π[*]f²(x)dx＝[*][a²f(a)－f(1)]，两边对a求导，得 3f²(a)＝2af(a)＋a²f’(a)[*]f’(a)＝[*]，令[*]＝u[*]f’(a)＝u＋a[*]＝3u²－3u[*]1－[*]＝ca³，即 f(a)＝[*]，由f(1)＝[*]，得c＝－1，所以f(x)＝[*]．

解析

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考研数学三

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