设A为m×n矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Aχ＝0和(Ⅱ)ATAχ＝0，必有( )

admin2020-02-28 29

问题设A为m×n矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Aχ＝0和(Ⅱ)A^TAχ＝0，必有( )

选项 A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解
B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解
D、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解

答案A

解析设α是Aχ＝0的解，即Aα＝0，则A^TAα＝0，即(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解．
设β是A^TAχ＝0的解，则A^TAB＝0．
两边左乘β^T得到β^TA^TAβ＝β^T0＝0，
整理可得(Aβ)^TAβ＝0，从而得到Aβ＝0，即(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解．

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