设f(x)在[0，+∞)上连续，且满足方程求f(t)．

admin2019-02-20 69

问题设f(x)在[0，+∞)上连续，且满足方程

求f(t)．

选项

答案首先把右端的二重积分化为定积分．设x=rcosθ，y=rsinθ，引入极坐标(r，θ)，于是，在极坐标系(r，θ)中积分区域x²+y²≤4t²可表为0≤θ≤2π，0≤r≤2t，面积元dxdy=rdrdθ，[*]于是 [*] 再作换元[*]则有[*] 从而未知函数f(t)满足积分方程[*]令t=0得f(0)=1；用变上限定积分求导公式得 f’(t)=8πtf(t)+8πte4^4πt²．由此可知f(t)是一阶线性微分方程y’－8πty=8πte4^4πt²满足初始条件y(0)=1的特解．解出可得 f(t)=(1+4πt²)e^4πt²．

解析

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