求曲面积分I＝χdydz＋y2dzdχ，其中∑是曲面z＝χ2＋y2满足z≤χ的部分，取下侧．

admin2018-06-12 61

问题求曲面积分I＝

χdydz＋y²dzdχ，其中∑是曲面z＝χ²＋y²满足z≤χ的部分，取下侧．

选项

答案图26—1(a)中只画出曲面z＝χ²＋y²，易知，∑关于zχ平面对称，y²对y为偶函数，于是[*]y²dzdχ＝0，I＝I₁＝[*]χdydz．不论投影到哪个平面上计算这个曲面积分，都需要先求投影区域．现选择投影到χy平面上，记投影区域为D_χy．由[*]，消去z得χ＝χ²＋y²， [*] 见图26—1(b)．因∑方程为z＝χ²＋y²[*]，于是代公式化为二重积分得 [*] 作极坐标变换：χ＝rcosθ，r＝rsinθ，D_χy：[*]，0≤r≤cosθ，于是 [*]

解析

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考研数学一

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