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  3. 若函数f(x)在(-∞，-+∞)内满足关系式f’(x)=f(x)，且f(0)=1．证明：f(x)=ex．

若函数f(x)在(-∞，-+∞)内满足关系式f’(x)=f(x)，且f(0)=1．证明：f(x)=ex．

admin2016-07-22  56
问题 若函数f(x)在(-∞，-+∞)内满足关系式f’(x)=f(x)，且f(0)=1．证明：f(x)=ex．
选项
答案作函数φ(x)=[*] 已知f’(x)=f(x)，从而φ’(x)=0，于是φ(x)=[*] 当x=0时，易知φ(0)=[*]，故f(x)=ex．
解析 欲证f(x)=ex，一种思路是移项一边作辅助函数φ(x)=f(x)-ex，如能证明φ’(x)≡0，从而ψ(x)≡C由条件φ(0)=f(0)-1=0，得C=0，即f(x)-ex≡0，于是f(x)=ex．但φ’(x)=f’(x)-ex，利用已知条件φ’(x)=f(x)得f(x)-f(x)-ex，要证φ’(x)≡0，即要证f(x)=ex，而这就是我们要证明的结论，故这种思路行不通．另一种思路是由f(x)=ex两边同除以ex得辅助函数．若能证明φ’(x)=0，从而φ(x)=C，由条件=1得C=1，即，因此本题利用第二种思路．
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考研数学一

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