A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明： aij=AATA=E，且｜A｜=1；

admin2016-07-22 74

问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，试证明：
a_ij=A

A^TA=E，且｜A｜=1；

选项

答案当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=AA^*=｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_{ijT)=[*]而tr(AA^T)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，这说明｜A｜＞0．在AA^T=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n-2=1，｜A｜=1．
反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=E且A可逆，于是，A^TA=A^*A，A^T=A^*，即a_ij=A_ij．}

解析

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考研数学一

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设n阶矩阵A=，则｜A｜=__________．
若函数f(x)在[0,1]上二阶可微，且f(0)=f(1)，｜f"(x)｜≤1，证明：｜f’(x)｜≤1/2在[0，1]上成立．
设∑由z2+y2=R2及平面z=R，z=-R(R＞O)所围成立体的外侧，计算曲线积分
计算I=(x2+y2)dv，其中Ω是由圆锥面x2+y2=z2和平面z=1围成．
求常数项级数的和：
下列级数中发散的是()．
设u=u(x，y，z)是由方程ez+u-xy-yz-zu=0确定的可微函数，求u=u(x，y，z)在点P(1，1，0)处方向导数的最小值．
由题设，根据行列式的定义和数学期望的性质，有[*]
设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=_______．

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