A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明： aij=AATA=E，且｜A｜=1；

admin2016-07-22 101

问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，试证明：
a_ij=A

A^TA=E，且｜A｜=1；

选项

答案当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=AA^*=｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_{ijT)=[*]而tr(AA^T)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，这说明｜A｜＞0．在AA^T=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n-2=1，｜A｜=1．
反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=E且A可逆，于是，A^TA=A^*A，A^T=A^*，即a_ij=A_ij．}

解析

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