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设x∈(0,1),证明下面不等式:(1)(1+x)ln2(1+x)<x2;(2)
设x∈(0,1),证明下面不等式:(1)(1+x)ln2(1+x)<x2;(2)
admin
2018-04-18
50
问题
设x∈(0,1),证明下面不等式:(1)(1+x)ln
2
(1+x)<x
2
;(2)
选项
答案
(1)令φ(x)=x
2
一(1+x)ln
2
(1+x),有φ(0)=0,且 φ’(x)=2x—ln
2
(1+x)一2ln(1+x),φ’(0)=0. 当x∈(0,1)时,[*][x一ln(1+x)]>0.则φ’(x)单调递增.从而φ’(x)>φ‘(0)=0,则φ(x)单调递增,则φ(x)>φ(0)=0,即(1+x)ln
2
(1+x)<x
2
. [*] 由(1)得,当x∈(0,1)时f’(x)<0,知f(x)单调递减,从而f(x)>f(1)=[*]又因为[*] 当x∈(0,1)时,f’(x)<0,知f(x)单调递减,且f(x)<f(0
+
)=[*]所以[*]
解析
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