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  3. 设x∈(0，1)，证明下面不等式：(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；(2)

设x∈(0，1)，证明下面不等式：(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；(2)

admin2018-04-18  44
问题 设x∈(0，1)，证明下面不等式：(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；(2)
选项
答案(1)令φ(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且 φ’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，φ’(0)=0． 当x∈(0，1)时，[*][x一ln(1+x)]＞0．则φ’(x)单调递增．从而φ’(x)＞φ‘(0)=0，则φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)＜x2． [*] 由(1)得，当x∈(0，1)时f’(x)＜0，知f(x)单调递减，从而f(x)＞f(1)=[*]又因为[*] 当x∈(0，1)时，f’(x)＜0，知f(x)单调递减，且f(x)＜f(0+)=[*]所以[*]
解析
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考研数学二

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