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  3. 设3阶对称矩阵A的特征值为λ1＝6，λ2＝λ3＝3，与特征值λ1＝6对应的特征向量为p1＝(1，1，1)T，求A．

设3阶对称矩阵A的特征值为λ1＝6，λ2＝λ3＝3，与特征值λ1＝6对应的特征向量为p1＝(1，1，1)T，求A．

admin2020-06-05  57
问题 设3阶对称矩阵A的特征值为λ1＝6，λ2＝λ3＝3，与特征值λ1＝6对应的特征向量为p1＝(1，1，1)T，求A．
选项
答案方法一 由于对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，故设矩阵A的对应于特征值λ2＝λ3＝3的两个线性无关的特征向量为p2，p3，于是p1与p2和p3都正交，故有 [*] 也即p2，p3是齐次方程组p1Tx＝0的两个线性无关的解． 齐次方程组p1Tx＝0即x1＋x2＋x3＝0，p2，p3可为上述方程组的一个基础解系，取其为p2＝(﹣1，1，0)T，p3＝(﹣1，0，1)T．将向量组p2，p3正交化，得 α1＝p2＝(﹣1，1，0)T， α2＝p3－[*] 分别将向量p1，α1，α2单位化，得 [*] 令Q＝(q1，q2，q3)，则Q为正交矩阵，并有QTAQ＝Q﹣1AQ＝diag(6，3，3)．于是 A [*] 方法二 因为A是对称矩阵，故必存在正交矩阵Q，使得 QTAQ＝Q﹣1AQ＝diag(6，3，3) 即A＝Q diag(6，3，3)Q﹣1＝Qdiag(6，3，3)QT，并且，若Q按列分块为Q＝(q1，q2，q3)，则向量q1必定是对应于特征值λ1＝6的单位特征向量．于是，由题设q1＝[*] 由于A＝Q diag(6，3，3)Q﹣1＝Q diag(6，3，3)QT，所以 [*] 于是 A＝[*]
解析
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考研数学一

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