设3阶对称矩阵A的特征值为λ1=6,λ2=λ3=3,与特征值λ1=6对应的特征向量为p1=(1,1,1)T,求A.

admin2020-06-05  37

问题 设3阶对称矩阵A的特征值为λ1=6,λ2=λ3=3,与特征值λ1=6对应的特征向量为p1=(1,1,1)T,求A.

选项

答案方法一 由于对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,故设矩阵A的对应于特征值λ2=λ3=3的两个线性无关的特征向量为p2,p3,于是p1与p2和p3都正交,故有 [*] 也即p2,p3是齐次方程组p1Tx=0的两个线性无关的解. 齐次方程组p1Tx=0即x1+x2+x3=0,p2,p3可为上述方程组的一个基础解系,取其为p2=(﹣1,1,0)T,p3=(﹣1,0,1)T.将向量组p2,p3正交化,得 α1=p2=(﹣1,1,0)T, α2=p3-[*] 分别将向量p1,α1,α2单位化,得 [*] 令Q=(q1,q2,q3),则Q为正交矩阵,并有QTAQ=Q﹣1AQ=diag(6,3,3).于是 A [*] 方法二 因为A是对称矩阵,故必存在正交矩阵Q,使得 QTAQ=Q﹣1AQ=diag(6,3,3) 即A=Q diag(6,3,3)Q﹣1=Qdiag(6,3,3)QT,并且,若Q按列分块为Q=(q1,q2,q3),则向量q1必定是对应于特征值λ1=6的单位特征向量.于是,由题设q1=[*] 由于A=Q diag(6,3,3)Q﹣1=Q diag(6,3,3)QT,所以 [*] 于是 A=[*]

解析
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