设3阶对称矩阵A的特征值为λ1＝6，λ2＝λ3＝3，与特征值λ1＝6对应的特征向量为p1＝(1，1，1)T，求A．

admin2020-06-05 49

问题设3阶对称矩阵A的特征值为λ₁＝6，λ₂＝λ₃＝3，与特征值λ₁＝6对应的特征向量为p₁＝(1，1，1)^T，求A．

选项

答案方法一由于对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，故设矩阵A的对应于特征值λ₂＝λ₃＝3的两个线性无关的特征向量为p₂，p₃，于是p₁与p₂和p₃都正交，故有 [*] 也即p₂，p₃是齐次方程组p₁^Tx＝0的两个线性无关的解．齐次方程组p₁^Tx＝0即x₁＋x₂＋x₃＝0，p₂，p₃可为上述方程组的一个基础解系，取其为p₂＝(﹣1，1，0)^T，p₃＝(﹣1，0，1)^T．将向量组p₂，p₃正交化，得 α₁＝p₂＝(﹣1，1，0)^T， α₂＝p₃－[*] 分别将向量p₁，α₁，α₂单位化，得 [*] 令Q＝(q₁，q₂，q₃)，则Q为正交矩阵，并有Q^TAQ＝Q^﹣1AQ＝diag(6，3，3)．于是 A [*] 方法二因为A是对称矩阵，故必存在正交矩阵Q，使得 Q^TAQ＝Q^﹣1AQ＝diag(6，3，3) 即A＝Q diag(6，3，3)Q^﹣1＝Qdiag(6，3，3)Q^T，并且，若Q按列分块为Q＝(q₁，q₂，q₃)，则向量q₁必定是对应于特征值λ₁＝6的单位特征向量．于是，由题设q₁＝[*] 由于A＝Q diag(6，3，3)Q^﹣1＝Q diag(6，3，3)Q^T，所以 [*] 于是 A＝[*]

解析

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考研数学一

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