2. 考研
  3. 设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)=2∫01/2x2f2(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)=2∫01/2x2f2(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

admin2022-10-25  65
问题 设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)=2∫01/2x2f2(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．
选项
答案令φ(x)=x2f(x)，由积分中值定理得f(1)=2∫01/2x2f(x)dx=c2f(c)，其中c∈[0,1/2]，即φ(c)=φ(1)，显然φ(x)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x)，所以2ξf(ξ)+ξ2f’(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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