设f(x)在区间[0,1]上可导,f(1)=2∫01/2x2f2(x)dx.证明:存在ξ∈(0,1),使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0.

admin2022-10-25  24

问题 设f(x)在区间[0,1]上可导,f(1)=2∫01/2x2f2(x)dx.证明:存在ξ∈(0,1),使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0.

选项

答案令φ(x)=x2f(x),由积分中值定理得f(1)=2∫01/2x2f(x)dx=c2f(c),其中c∈[0,1/2],即φ(c)=φ(1),显然φ(x)在区间[0,1]上可导,由罗尔中值定理,存在ξ∈(c,1)∈(0,1),使得φ’(ξ)=0.而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x),所以2ξf(ξ)+ξ2f’(ξ)=0,注意到ξ≠0,故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0.

解析
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