设A=，试证当n≥3时，恒有An=An-2+A2一E，并利用这关系式来计算A100．

admin2020-09-29 71

问题设A=

，试证当n≥3时，恒有Aⁿ=A^n-2+A²一E，并利用这关系式来计算A¹⁰⁰．

选项

答案n=3时，A²=[*]所以A³=A+A²一E，等式成立．设n=k时成立，即A^k=A^k-2+A²一E成立，则 A^k+1=A.A^k=A(A^k-2+A²一E)=A^k-1+A³一A =A^k-1+(A+A²-E)一A=A^k-1+A²一E．故n=k+1时等式也成立．所以当n≥3时，恒有Aⁿ=A^n-2+A²—E．利用所证关系式得 A¹⁰⁰=A⁹⁸+A²—E=A⁹⁶+2(A²一E)=…=A²+49(A²—E)=50A²一49E=[*]

解析

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考研数学一

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