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设实数ρ≥1,证明:不等式对一切正实数a,b都成立。
设实数ρ≥1,证明:不等式对一切正实数a,b都成立。
admin
2021-07-15
43
问题
设实数ρ≥1,证明:不等式
对一切正实数a,b都成立。
选项
答案
当ρ=1时,等号成立,故只需证ρ>1的情形,考虑辅助函数 f(x)=[*]x
1-ρ
b
ρ
(x>0) 对f(x)求导得到 f’(x)=[*]x
-ρ
b
ρ
f"(x)=[*](-ρ)x
-ρ-1
b
ρ
=(ρ-1)x
-ρ-1
b
ρ
>0(x>0). 由f’(x)=0解得x=b,这是f(x)在(0,+∞)内唯一的驻点,且为极小值点,因此,f(b)=b是函数f(x)在区间(0,+∞)上的最小值,故当a,b>0时,f(a)≥f(b)=b,即得所证。
解析
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考研数学二
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