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  3. 设实数ρ≥1，证明：不等式对一切正实数a,b都成立。

设实数ρ≥1，证明：不等式对一切正实数a,b都成立。

admin2021-07-15  44
问题 设实数ρ≥1，证明：不等式对一切正实数a,b都成立。
选项
答案当ρ=1时，等号成立，故只需证ρ＞1的情形，考虑辅助函数 f(x)=[*]x1－ρbρ(x＞0) 对f(x)求导得到 f’(x)=[*]x－ρbρ f"(x)=[*](－ρ)x-ρ-1bρ=(ρ－1)x-ρ-1bρ＞0(x＞0). 由f’(x)=0解得x=b,这是f(x)在（0，+∞）内唯一的驻点，且为极小值点，因此，f(b)=b是函数f(x)在区间（0，+∞）上的最小值，故当a,b＞0时，f(a)≥f(b)=b，即得所证。
解析
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考研数学二

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