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  3. 函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，f(x)不恒等于1，下列给出的函数哪些必为奇函数？哪些必为偶函数？ (1)f(x2) (2)xf(x2) (3)x2f(x) (4)f2(x) (5)f(｜x｜)

函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，f(x)不恒等于1，下列给出的函数哪些必为奇函数？哪些必为偶函数？ (1)f(x2) (2)xf(x2) (3)x2f(x) (4)f2(x) (5)f(｜x｜)

admin2012-01-29  161
问题 函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，f(x)不恒等于1，下列给出的函数哪些必为奇函数？哪些必为偶函数？
(1)f(x2)          (2)xf(x2)
(3)x2f(x)         (4)f2(x)
(5)f(｜x｜)                  (6)｜f(x)｜
(7)f(x)＋f(－x)              (8)f(x)－f(－x)
选项
答案(1)设g(x)＝f(x2)，则g(－x)＝f((－x)2)＝f(x2)＝g(x) ∴f(x2)必为偶函数. (2)设g(x)＝xf(x2)，则g(－x)＝(－x)f[(－x)2]＝－xf(x2)＝－g(x) ∴xf(x2)必为奇函数. (3)设g(x)＝x2f(x)，则g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(－x) ∵f(－x)奇偶性不能确定 ∴x2f(x)奇偶性不定. (4)设g(x)＝f2(x)，则g(－x)＝f2(－x)≠f2(x)且f2(x)≠－f2(x) ∴f2(x)奇偶性不定. (5)设g(x)＝f(｜x｜)，则g(－x)＝f(｜x｜)＝f(｜x｜)＝g(x) ∴f(｜ x ｜)必为偶函数． (6)设g(x)＝｜f(x)｜，则g(－x)＝｜ f(－x)｜≠｜f(x)｜且｜f(－x)｜≠－｜f(x)｜ ∴｜(x)｜奇偶性不定． (7)设g(x)=f(x)＋f(－x)，则 g(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]＝f(－x)＋f(x)＝g(x) ∴f(x)＋f(－x)必偶函数． (8)设g(x)＝f(x)－f(－x)，则 g(－x)＝f(－x)－f[－(-x)]＝f(－x)－f(x)＝[f(x)－f(－(x))]＝－g(x) ∴f(x)－f(－x)必为奇函数．
解析
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考研数学二

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