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设A,B是二随机事件,随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.
设A,B是二随机事件,随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.
admin
2021-01-25
55
问题
设A,B是二随机事件,随机变量
试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.
选项
答案
由已知得: EX=1.P(A)+(-1)P([*])=P(A)-P([*])=2P(A)-1 EY=1.P(B)+(-1)P([*])=P(B)-P([*])=2P(B)-1 E(XY)=1×1×P(AB)+1×(-1)P([*])+1×(-1)×P([*])+(-1)×(-1)×P([*]) =P(AB)-[*] =P(AB)-[P(A)-P(AB)]-[P(B)-P(AB)]+1-[P(A)+P(B)-P(AB)] =4P(AB)-2P(A)-2P(B)+1 ∴cov(X,Y)=E(XY)-EX.EY=4P(AB)-2P(A)-2P(B)+1-[2P(A)-1][2P(B)-1] =4[P(AB)-P(A)P(B)] 故,X与不相关[*]cov(X,Y)=0[*]P(AB)=P(A)P(B)[*]A与B独立.这儿“[*]”表示“当且仅当”或“等价于”.证毕.
解析
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考研数学三
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