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  3. 设A，B是二随机事件，随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立．

设A，B是二随机事件，随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立．

admin2021-01-25  48
问题 设A，B是二随机事件，随机变量

    试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立．
选项
答案由已知得： EX＝1.P(A)＋(－1)P([*])＝P(A)－P([*])＝2P(A)－1 EY＝1.P(B)＋(－1)P([*])＝P(B)－P([*])＝2P(B)－1 E(XY)＝1×1×P(AB)＋1×(－1)P([*])＋1×(－1)×P([*])＋(－1)×(－1)×P([*]) ＝P(AB)－[*] ＝P(AB)－[P(A)－P(AB)]－[P(B)－P(AB)]＋1－[P(A)＋P(B)－P(AB)] ＝4P(AB)－2P(A)－2P(B)＋1 ∴cov(X，Y)＝E(XY)－EX.EY＝4P(AB)－2P(A)－2P(B)＋1－[2P(A)－1][2P(B)－1] ＝4[P(AB)－P(A)P(B)] 故，X与不相关[*]cov(X，Y)＝0[*]P(AB)＝P(A)P(B)[*]A与B独立．这儿“[*]”表示“当且仅当”或“等价于”．证毕．
解析
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考研数学三

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