设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x3+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=yx12+yx22+4yx32，求参数a，6及正交矩阵Q．

admin2019-01-05 16

问题设二次型f=2x₁²+2x₂²+ax₃²+2x₁x₃+2bx₁x₃+2x₂x₃经过正交变换X=QY化为标准形f=yx₁²+yx₂²+4yx₃²，求参数a，6及正交矩阵Q．

选项

答案二次型，f=2x₁²+2x₂²+a₃²+2x₁x₂+2bx₁x₃+2x₂x₃的矩阵形式为 f=X^TAX 其中 [*] 因为Q^TAQ=B=[*]，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．而|λE一A|=λ³一(a+4)λ²+(4a一b²+2)λ+(一3a一2b+2b²+2)，所以有 λ³一(a+4)λ²+(4a一b²+2)λ+(一3a一2b+2b²+2)=(λ一1)²(λ一4)，解得a=2，b=1．当λ₁=λ₂=1时，由(E一A)X=0得ξ₁=[*] 由λ₃=4时，由(4E一A)X=0得ξ₃=[*] 显然ξ₁，ξ₂，ξ₃两两正交，单位化为 [*]

解析

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考研数学三

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设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x3+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=yx12+yx22+4yx32，求参数a，6及正交矩阵Q．

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A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且（Ⅰ）求A的所有特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵A。

设向量组（Ⅰ）：b1，…，br能由向量组（Ⅱ）：a1，…，as线性表示为（b1，…，br）=（a1，…，as）K，其中K为s×r矩阵，且向量组（Ⅱ）线性无关。证明向量组（Ⅰ）线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r（K）=r。

设幂级数anxn在（一∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y"—2xy’—4y=0，y（0）=0，y’（0）=1（Ⅰ）证明：an+2=an，n=1，2，…；（Ⅱ）求y（x）的表达式。

设f（x，y）连续，且f（x，y）=xy+其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f（x，y）等于（）

设总体X的概率密度f（x）=其中a是常数，λ＞0是未知参数，从总体X中抽取样本X1，X2，…，Xn。求：（Ⅰ）常数a；（Ⅱ）求λ的最大似然估计量。

已知随机变量（X，Y）在区域D={（x，y）|—1＜x＜1，—1＜y＜1}上服从均匀分布，则（）

设平面区域D由曲线y=及直线y=0，x=1，x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为________。

已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关。证明：如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3。

设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分

若压力表盘的最大标尺为1．96MPa时，则制冷剂的压力测量范围不应超过()。

热量传递的基本方式是()。

患者，男性，24岁。因工厂着火不慎烟雾吸入后呼吸窘迫来院。查体：神志清，呼吸急促，双肺未闻及明显干湿性啰音，面罩吸氧下SpO292％，考虑并发ARDS，需行机械通气，关于人工气道的建立，首选

根据《建设工程安全生产管理条例》，安全警示标志必须符合()。

在闭合导线和附合导线计算中，坐标增量闭合差的分配原则是怎样分配到各边的坐标增量中?()

行政许可申请人、利害关系人应当在被告知听证权利之日起5日内提出听证申请，行政机关应当在法定期限内组织听证。根据行政许可法律制度的规定，该法定期限为()。

在菜市场买菜时，部分菜摊摊主会在秤上动手脚，导致缺斤短两的结果。此行为侵害了消费者的()。

请补充完整哈姆莱特对“人”的赞美：“人类是多么了不起的杰作!多么高贵的___!多么伟大的_多么优美的_!多么文雅的_!在上多么像一个天使!在智慧上多么像一个天神!_!___!”

设由y轴，y=xθ，j，y=a(0＜a＜1)在第一象限所围成的平面图形，由y=a，y=x2，x=1所围成的平面图形都绕y轴旋转，所得的旋转体的体积相等，则a=_________．

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请补充完整哈姆莱特对“人”的赞美：“人类是多么了不起的杰作!多么高贵的___!多么伟大的_多么优美的_!多么文雅的_!在上多么像一个天使!在智慧上多么像一个天神!_!___!”