设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x3+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=yx12+yx22+4yx32，求参数a，6及正交矩阵Q．

admin2019-01-05 26

问题设二次型f=2x₁²+2x₂²+ax₃²+2x₁x₃+2bx₁x₃+2x₂x₃经过正交变换X=QY化为标准形f=yx₁²+yx₂²+4yx₃²，求参数a，6及正交矩阵Q．

选项

答案二次型，f=2x₁²+2x₂²+a₃²+2x₁x₂+2bx₁x₃+2x₂x₃的矩阵形式为 f=X^TAX 其中 [*] 因为Q^TAQ=B=[*]，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．而|λE一A|=λ³一(a+4)λ²+(4a一b²+2)λ+(一3a一2b+2b²+2)，所以有 λ³一(a+4)λ²+(4a一b²+2)λ+(一3a一2b+2b²+2)=(λ一1)²(λ一4)，解得a=2，b=1．当λ₁=λ₂=1时，由(E一A)X=0得ξ₁=[*] 由λ₃=4时，由(4E一A)X=0得ξ₃=[*] 显然ξ₁，ξ₂，ξ₃两两正交，单位化为 [*]

解析

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考研数学三

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设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x3+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=yx12+yx22+4yx32，求参数a，6及正交矩阵Q．

考研数学三

已知函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=1。证明：（Ⅰ）存在f∈（0，1），使得f（ξ）=1一ξ；（Ⅱ）存在两个不同的点η，ζ∈（0，1），使得f’（η）f’（ζ）=1。

A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且（Ⅰ）求A的所有特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵A。

已知二次型f（x1，x2，x3）=（1—a）x12+（1—a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形；（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

假设盒内有10件产品，其正品数为0，1，…，10个是等可能的，今向盒内放入一件正品，然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有7件正品的概率α=________。

设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，则根据辛钦大数定律，依概率收敛于其数学期望，只要{Xn：n≥1}（）

设幂级数anxn在（一∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y"—2xy’—4y=0，y（0）=0，y’（0）=1（Ⅰ）证明：an+2=an，n=1，2，…；（Ⅱ）求y（x）的表达式。

已知随机变量X，Y的概率分布分别为P{X=一1}=并且P{X+Y=1}=1，求：（Ⅰ）（X，Y）的联合分布；（Ⅱ）X与Y是否独立？为什么？

设X1，X2，…，Xn，…相互独立且都服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布，则当n→∞时，以Ф（x）为极限的是（）

设总体X的概率密度为是样本均值。求参数θ的矩估计量。

设有正项级数是它的部分和。（Ⅰ）证明收敛；（Ⅱ）判断级数是条件收敛还是绝对收敛，并给予证明。

对周期性麻痹叙述不正确的是

阳虚水泛型肺胀的治则是痰热郁肺型肺胀的治则是

依据《中华人民共和国循环经济促进法》，电力、石油加工等企业，必须在国家规定的范围和期限内，以洁净煤、石油焦、天然气等清洁能源替代燃料油，停止使用不符合国家规定的()。

税种认定涉及国税、地税两套税务机构的纳税人，税务代理税种认定，下列做法不合适的有(　　)。

个人住房贷款的信用风险通常是因借款人的()和()下降导致的。

下列选项中，不能设立临时性行政许可的规范是()。

原计划在雕塑周围用若干盆花围成一个4层的空心方阵，但为了整体美观，最后决定将花盆排成2层。4层空心方阵与2层空心方阵相比，最外一层每边少8盆，那么一共有多少盆花?（）

提高效度的方法有哪些?【河北师范大学2013；曲阜师范大学2011】

Ateacherwhoisskillfulindeliveringhislecturecanundoubtedly______themindofstudents.

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已知二次型f（x1，x2，x3）=（1—a）x12+（1—a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形；（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

假设盒内有10件产品，其正品数为0，1，…，10个是等可能的，今向盒内放入一件正品，然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有7件正品的概率α=________。

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设X1，X2，…，Xn，…相互独立且都服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布，则当n→∞时，以Ф（x）为极限的是（）

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对周期性麻痹叙述不正确的是

阳虚水泛型肺胀的治则是痰热郁肺型肺胀的治则是

依据《中华人民共和国循环经济促进法》，电力、石油加工等企业，必须在国家规定的范围和期限内，以洁净煤、石油焦、天然气等清洁能源替代燃料油，停止使用不符合国家规定的()。

税种认定涉及国税、地税两套税务机构的纳税人，税务代理税种认定，下列做法不合适的有( )。

个人住房贷款的信用风险通常是因借款人的()和()下降导致的。

下列选项中，不能设立临时性行政许可的规范是()。

原计划在雕塑周围用若干盆花围成一个4层的空心方阵，但为了整体美观，最后决定将花盆排成2层。4层空心方阵与2层空心方阵相比，最外一层每边少8盆，那么一共有多少盆花?（）

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