设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x3+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=yx12+yx22+4yx32，求参数a，6及正交矩阵Q．

admin2019-01-05 33

问题设二次型f=2x₁²+2x₂²+ax₃²+2x₁x₃+2bx₁x₃+2x₂x₃经过正交变换X=QY化为标准形f=yx₁²+yx₂²+4yx₃²，求参数a，6及正交矩阵Q．

选项

答案二次型，f=2x₁²+2x₂²+a₃²+2x₁x₂+2bx₁x₃+2x₂x₃的矩阵形式为 f=X^TAX 其中 [*] 因为Q^TAQ=B=[*]，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．而|λE一A|=λ³一(a+4)λ²+(4a一b²+2)λ+(一3a一2b+2b²+2)，所以有 λ³一(a+4)λ²+(4a一b²+2)λ+(一3a一2b+2b²+2)=(λ一1)²(λ一4)，解得a=2，b=1．当λ₁=λ₂=1时，由(E一A)X=0得ξ₁=[*] 由λ₃=4时，由(4E一A)X=0得ξ₃=[*] 显然ξ₁，ξ₂，ξ₃两两正交，单位化为 [*]

解析

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考研数学三

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设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x3+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=yx12+yx22+4yx32，求参数a，6及正交矩阵Q．

考研数学三

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。（Ⅰ）证明B可逆；（Ⅱ）求AB—1。

设X是服从参数为2的指数分布的随机变量，则随机变量Y=X一的概率密度函数fY（y）=________。

设总体X与Y都服从正态分布N（0，σ2），已知X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn是分别取自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量Y=服从t（n）分布，则等于（）

设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为求：（Ⅰ）系数A；（Ⅱ）（X，Y）的联合分布函数；（Ⅲ）边缘概率密度；（Ⅳ）（X，Y）落在区域R:x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率。

设平面区域D由曲线y=及直线y=0，x=1，x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为________。

已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关。证明：如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3。

曲线y=的过原点的切线是________。

证明：二次型f（x）=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

设总体X服从几何分布：p（x；p）=p（1一p）x—1（x=1，2，3，…），如果取得样本观测值为x1，x2，…，xn，求参数p的矩估计值与最大似然估计值。

妊娠周前的早产，应用肾上腺皮质激素促胎儿肺成熟。常用药为：倍他米松mg肌注，每日次，共天，或地塞米松mg，肌注，每日次，共天。

不符合铜绿假单胞菌肺炎特点的是

A．资源严重减少的主要常用野生药材物种B．资源处于衰竭状态的名贵野生药材物种C．濒临灭绝状态的稀有珍贵野生药材物种D．资源严重减少的重要野生药材物种E．分布区域缩小、资源处于衰竭状态的重要野生药材物种

某公诉案件中，被害人甲只有14周岁。则甲的父亲乙拥有哪些诉讼权利?()

若f(x)的一个原函数是e－2x，则∫f"(x)dx=()。

依据《恶臭污染物排放标准》，不得新建排放恶臭污染物项目的区域是()。

影响房地产价格的经济因素主要有()。

宋代新儒学产生的背景及其流派

陆地自然带纬度地带性的产生是以为基础的，经度地带性的产生受条件影响较大，在中纬度地区较明显。

设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x3+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=yx12+yx22+4yx32，求参数a，6及正交矩阵Q．

考研数学三

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。（Ⅰ）证明B可逆；（Ⅱ）求AB—1。

设X是服从参数为2的指数分布的随机变量，则随机变量Y=X一的概率密度函数fY（y）=________。

设总体X与Y都服从正态分布N（0，σ2），已知X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn是分别取自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量Y=服从t（n）分布，则等于（）

设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为求：（Ⅰ）系数A；（Ⅱ）（X，Y）的联合分布函数；（Ⅲ）边缘概率密度；（Ⅳ）（X，Y）落在区域R:x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率。

设平面区域D由曲线y=及直线y=0，x=1，x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为________。

已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关。证明：如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3。

曲线y=的过原点的切线是________。

证明：二次型f（x）=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

设总体X服从几何分布：p（x；p）=p（1一p）x—1（x=1，2，3，…），如果取得样本观测值为x1，x2，…，xn，求参数p的矩估计值与最大似然估计值。

妊娠________周前的早产，应用肾上腺皮质激素促胎儿肺成熟。常用药为：倍他米松________mg肌注，每日________次，共________天，或地塞米松________mg，肌注，每日________次，共________天。

不符合铜绿假单胞菌肺炎特点的是

A．资源严重减少的主要常用野生药材物种B．资源处于衰竭状态的名贵野生药材物种C．濒临灭绝状态的稀有珍贵野生药材物种D．资源严重减少的重要野生药材物种E．分布区域缩小、资源处于衰竭状态的重要野生药材物种

某公诉案件中，被害人甲只有14周岁。则甲的父亲乙拥有哪些诉讼权利?()

若f(x)的一个原函数是e－2x，则∫f"(x)dx=()。

依据《恶臭污染物排放标准》，不得新建排放恶臭污染物项目的区域是()。

影响房地产价格的经济因素主要有()。

宋代新儒学产生的背景及其流派

陆地自然带纬度地带性的产生是以______为基础的，经度地带性的产生受______条件影响较大，在中纬度地区较明显。

妊娠周前的早产，应用肾上腺皮质激素促胎儿肺成熟。常用药为：倍他米松mg肌注，每日次，共天，或地塞米松mg，肌注，每日次，共天。

陆地自然带纬度地带性的产生是以为基础的，经度地带性的产生受条件影响较大，在中纬度地区较明显。