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[2013年] 设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: 存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;
[2013年] 设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: 存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;
admin
2019-04-08
22
问题
[2013年] 设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:
存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;
选项
答案
由f’(ξ)=1,得f’(ξ)一1=0,[f(x)-x]’|
x=ξ
=0,因而令辅助函数F(x)=f(x)一x.因F(1)=f(1)一1=1—1=0,又f(x)为奇函数,故f(0)=0,于是 F(0)=f(0)一0=0. 显然f(x)在区间[0,1]上满足罗尔定理的其他条件,由该定理知存在ξ∈(0,1),使F’(ξ)=0,即 f’(ξ)一1=0,f’(ξ)=1.
解析
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考研数学一
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