求矩阵A＝的特征值与特征向量，并求正交矩阵P使得PTAP为对角矩阵．

admin2020-06-05 13

问题求矩阵A＝

的特征值与特征向量，并求正交矩阵P使得P^TAP为对角矩阵．

选项

答案因为矩阵A的特征多项式为｜A－λE｜＝[*] ＝(λ－2)(λ＋1)² 所以A的特征值为λ₁＝2，λ₂＝λ₃＝﹣1．当λ₁＝2时，解方程组(A－2E)x＝0．由 A－2E[*] 得基础解系为α₁＝(1，1，1)^T，故与特征值λ＝2对应的特征向量为c₁α₁(c₁≠0)．当λ₂＝λ₃＝﹣1时，方程组(A－2E)x＝0．由 A＋E＝[*] 得基础解系为α₂＝(﹣1，1，0)^T，α₃＝(﹣1，0，1)^T，故与特征值λ＝1对应的特征向量为c₂α₂＋c₃α₃，其中c₂，c₃不全为零．对α₂，α₃进行正交化，令 β₁＝α₂＝(﹣1，1，0)^T β₂＝α₃－[*]＝(﹣1，0，1)^T－[*]＝[*](﹣1，﹣1，2)^T 再对α₁，β₁，β₂单位化，令 [*] 取P＝(p₁，p₂，p₃)＝[*]，则P^TAP＝diag(2，﹣1，﹣1)．

解析

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考研数学一

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