求矩阵A=的特征值与特征向量,并求正交矩阵P使得PTAP为对角矩阵.

admin2020-06-05  17

问题 求矩阵A=的特征值与特征向量,并求正交矩阵P使得PTAP为对角矩阵.

选项

答案因为矩阵A的特征多项式为 |A-λE|=[*] =(λ-2)(λ+1)2 所以A的特征值为λ1=2,λ2=λ3=﹣1. 当λ1=2时,解方程组(A-2E)x=0.由 A-2E[*] 得基础解系为α1=(1,1,1)T,故与特征值λ=2对应的特征向量为c1α1(c1≠0). 当λ2=λ3=﹣1时,方程组(A-2E)x=0.由 A+E=[*] 得基础解系为α2=(﹣1,1,0)T,α3=(﹣1,0,1)T,故与特征值λ=1对应的特征向量为c2α2+c3α3,其中c2,c3不全为零. 对α2,α3进行正交化,令 β1=α2=(﹣1,1,0)T β2=α3-[*]=(﹣1,0,1)T-[*]=[*](﹣1,﹣1,2)T 再对α1,β1,β2单位化,令 [*] 取P=(p1,p2,p3)=[*],则PTAP=diag(2,﹣1,﹣1).

解析
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