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[2004年] 设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α(0

admin2021-01-25  27
问题 [2004年]  设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α(0<α<1)，数uα满足P(X>uα)=α．若P(|X|
选项 A、uα/2
B、u1－α/2
C、u(1－α)/2
D、u1－α
答案C
解析 解一  因X～N(0，1)，由P(X＞uα)=α得到
            P(X＞uα)=1－P(X≤uα)=1－Φ(uα)=α，即Φ(uα)=1－α．
而α=P(|X|＜x)=2Φ(x)－1(见命题3．2．3．2(5))，即
         
    对照Φ(uα)=1－α知，上式中的x=u(1－α)/2．仅(C)入选．
    解二  为判定P(|X|＜x)=α中的x等于四个数中的哪一个，只需将P(|x|＜x)=α化成P(X＞x)等于上述四数中的某一个即可．事实上，因X～N(0，1)，其曲线关于y轴对称，故对任意正实数a，均有
    因而
        
比较P(X>uα)=α即知上式中x=u(1-α)/2．仅(C)入选．
     
    解三  设X的概率密度函数的图形如图3．2．4．3所示，阴影部分的面积为α，即P(|X|＜x)=α，整个面积(总面积)为1，由对称性知阴影部分两边的面积相等，且等T(1－α)／2，即P(X＞x)=(1－α)／2=P(X＜－x)．比较P(X>uα)=α，便知x=u(1－α)/2．仅(C)入选．
        
    解四  因X服从标准正态分布N(0，1)，其曲线关于y轴对称，故有P(X＞a)=P(X＜－α)．于是有
                   α=P(|X|＜x)=1－P(|X|≥x)=1－[P(X≥x)+P(X≤－x)]=1－2P(X≥x)．
则P(X≥x)=(1－α)／2．由题设有P(X＞uα)=α，比较得到x=u(1－α)/2．仅(C)入选．
    注：3．2．3．2  (5)若X服从标准正态分布，其分布函数为Φ(x)，则    P(|x|≤a)=2Φ(a)=1，  Φ(0)=0．5．
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考研数学三

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