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  3. 设函数f(x)在区间[0,1]上可导,且∫01f(x)=1.证明： 存在η∈(0,1),且η≠ζ,使得ηf’(η)+f(η)=1.

设函数f(x)在区间[0,1]上可导,且∫01f(x)=1.证明： 存在η∈(0,1),且η≠ζ,使得ηf’(η)+f(η)=1.

admin2021-07-08  46
问题 设函数f(x)在区间[0,1]上可导,且∫01f(x)=1.证明：
存在η∈(0,1),且η≠ζ,使得ηf’(η)+f(η)=1.
选项
答案作辅助函数G(x)=x[f(x)—1],显然G(0)=G(ξ)=0,G(x)在[0,ξ][*][0,1]上可导,且 G’(x)=f(x)—1+xf’(x). 根据罗尔定理,存在η∈(0,ξ)[*](0,1),使得G’(η)=0,即 ηf’(η)+f(η)=1.
解析
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考研数学二

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