设矩阵，矩阵B=(μE+A)n，其中μ是实数，E是单位阵．求对角阵Λ，使B~Λ，并讨论B的正定性．

admin2019-08-11 28

问题设矩阵

，矩阵B=(μE+A)ⁿ，其中μ是实数，E是单位阵．求对角阵Λ，使B~Λ，并讨论B的正定性．

选项

答案由[*]=(λ+2)[(λ－1)²－1]=(λ+2)λ(λ－2)，知A有特征值λ₁=－2，λ₁=0，λ₃=2．由于A是实对称矩阵(或A有三个不同的特征值)，故[*]，且存在正交矩阵P，使得P^－1AP=Λ₁故A=PΛ₁P^－1，代入矩阵B，有 B=(μE+A)ⁿ=(μP^－1+PΛ₁P^－1)ⁿ =[P(μE+Λ₁)P^－1]ⁿ=p(μE+Λ₁)ⁿP^－1 [*] 当n=2k(k=0，1，2，…)且μ≠0，μ≠0，μ≠－2时，Λ正定，则B正定；当n=2k+1(k=0，1，2，…)且μ>2时，Λ正定，则B正定．

解析

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