2. 考研
  3. 设矩阵，矩阵B=(μE+A)n，其中μ是实数，E是单位阵．求对角阵Λ，使B~Λ，并讨论B的正定性．

设矩阵，矩阵B=(μE+A)n，其中μ是实数，E是单位阵．求对角阵Λ，使B~Λ，并讨论B的正定性．

admin2019-08-11  34
问题 设矩阵，矩阵B=(μE+A)n，其中μ是实数，E是单位阵．求对角阵Λ，使B~Λ，并讨论B的正定性．
选项
答案 由[*]=(λ+2)[(λ－1)2－1]=(λ+2)λ(λ－2)，知A有特征值λ1=－2，λ1=0，λ3=2． 由于A是实对称矩阵(或A有三个不同的特征值)，故[*]，且存在正交矩阵P，使得P－1AP=Λ1故A=PΛ1P－1，代入矩阵B，有 B=(μE+A)n=(μP－1+PΛ1P－1)n =[P(μE+Λ1)P－1]n=p(μE+Λ1)nP－1 [*] 当n=2k(k=0，1，2，…)且μ≠0，μ≠0，μ≠－2时，Λ正定，则B正定； 当n=2k+1(k=0，1，2，…)且μ>2时，Λ正定，则B正定．
解析
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考研数学二

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