设矩阵,矩阵B=(μE+A)n,其中μ是实数,E是单位阵.求对角阵Λ,使B~Λ,并讨论B的正定性.

admin2019-08-11  25

问题 设矩阵,矩阵B=(μE+A)n,其中μ是实数,E是单位阵.求对角阵Λ,使B~Λ,并讨论B的正定性.

选项

答案 由[*]=(λ+2)[(λ-1)2-1]=(λ+2)λ(λ-2),知A有特征值λ1=-2,λ1=0,λ3=2. 由于A是实对称矩阵(或A有三个不同的特征值),故[*],且存在正交矩阵P,使得P-1AP=Λ1故A=PΛ1P-1,代入矩阵B,有 B=(μE+A)n=(μP-1+PΛ1P-1)n =[P(μE+Λ1)P-1]n=p(μE+Λ1)nP-1 [*] 当n=2k(k=0,1,2,…)且μ≠0,μ≠0,μ≠-2时,Λ正定,则B正定; 当n=2k+1(k=0,1,2,…)且μ>2时,Λ正定,则B正定.

解析
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