2. 考研
  3. 设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成，C取正向(如图10．18)． (Ⅰ)P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式： dxdy=∫C(Pcosα+Qcosβ)ds， 其中n=(cosα，cosβ)是C的单位外法向量． (

设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成，C取正向(如图10．18)． (Ⅰ)P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式： dxdy=∫C(Pcosα+Qcosβ)ds， 其中n=(cosα，cosβ)是C的单位外法向量． (

admin2016-10-26  57
问题 设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成，C取正向(如图10．18)．

(Ⅰ)P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式：
dxdy=∫C(Pcosα+Qcosβ)ds，
其中n=(cosα，cosβ)是C的单位外法向量．
(Ⅱ)设u(x，y)，v(x，y)在D有连续的二阶偏导数，求证：
(10．7)
(Ⅲ)设u(x，y)在D有连续的二阶偏导数且满足

求证：u(x，y)=0((x，y)∈D)．
选项
答案(Ⅰ)将格林公式 [*]dxdy=∫CPdx+Qdy 中Q换成P，P换成－Q，得 [*]dxdy=∫CPdy－Qdx． 由第一、二类曲线积分的关系得 ∫CPdy－Qdx=∫C[Pcos＜T，j＞－Qcos＜T，j＞]ds， 其中T是C的单位切向量且沿C的方向．注意＜T，j＞=＜n，i＞， ＜T，i＞=π－＜n，j＞． 于是 ∫CPdy－Qdx=∫C[Pcos+Qcosds=∫C(Pcosα+Qcosβ)ds． 因此证得结论． (Ⅱ)由方向导数计算公式得[*] 再由格林公式的另一种形式(即题(Ⅰ)的结论)得 [*] 再移项即得证． (Ⅲ)因u(x，y)｜C=0，要证u(x，y)≡0(x，y)∈D)，只需证[*]=0((x，y)∈D)．在(10．7)式中取v(x，y)=u(x，y)，得 [*] [*]
解析
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考研数学一

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