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  3. 求下列隐函数的微分或导数： (Ⅰ)设ysinx－cos(x－y)=0，求dy； (Ⅱ)设方程确定y=y(x)，求y′与y″．

求下列隐函数的微分或导数： (Ⅰ)设ysinx－cos(x－y)=0，求dy； (Ⅱ)设方程确定y=y(x)，求y′与y″．

admin2016-10-26  44
问题 求下列隐函数的微分或导数：
(Ⅰ)设ysinx－cos(x－y)=0，求dy；
(Ⅱ)设方程确定y=y(x)，求y′与y″．
选项
答案(Ⅰ)利用一阶微分形式不变性求得 d(ysinx)－dcos(x－y)=0， 即 sinxdy+ycosxdx+sin(x－y)(dx－dy)=0， 整理得 [sin(x－y)－sinx]dy=[ycosx+sin(x－y)]dx， 故 dy=[*]dx． (Ⅱ)将原方程两边取对数，得等价方程 [*]ln(x2+y2)=arctan[*]． (*) 现将方程两边求微分得 [*] 化简得xdx+ydy=xdy－ydx，即 (x－y)dy=(x+y)dx， 由此解得 y′=[*]． 为求y″，将y′满足的方程(x－y)y′=x+y两边再对x求导，即得 (1－y′)y′+(x－y)y″=1+y′[*] 代入y′表达式即得 [*]
解析
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考研数学一

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