函数f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式证明当x≥0时，不等式e-x≤f(x)≤1成立。

admin2022-10-13 41

问题函数f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式

证明当x≥0时，不等式e^-x≤f(x)≤1成立。

选项

答案证法一当x≥0时，f’(x)＜0,则f(x)单调减少，又f(0)=1,因此f(x)≤f(0)=1 设ψ(x)=f(x)－e^-x,则 ψ(0)=0,ψ’(x)=f’(x)+e^-x=[*] 当x≥0是，ψ’(x)≥0,即ψ(x)单调增加，因而ψ(x)≥ψ(0)，即有 f(x)≥e^-x 综上所述，当x≥0时，不等式e^-x≤f(x)≤1成立。证法二由于∫₀^xf^t(t)dt=f(x)－f(0)=f(x)－1所以 [*] 因而e^-x≤f(x)≤1。

解析

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考研数学三

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