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函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式 证明当x≥0时,不等式e-x≤f(x)≤1成立。
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式 证明当x≥0时,不等式e-x≤f(x)≤1成立。
admin
2022-10-13
72
问题
函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式
证明当x≥0时,不等式e
-x
≤f(x)≤1成立。
选项
答案
证法一 当x≥0时,f’(x)<0,则f(x)单调减少,又f(0)=1,因此f(x)≤f(0)=1 设ψ(x)=f(x)-e
-x
,则 ψ(0)=0,ψ’(x)=f’(x)+e
-x
=[*] 当x≥0是,ψ’(x)≥0,即ψ(x)单调增加,因而ψ(x)≥ψ(0),即有 f(x)≥e
-x
综上所述,当x≥0时,不等式e
-x
≤f(x)≤1成立。 证法二 由于∫
0
x
f
t
(t)dt=f(x)-f(0)=f(x)-1所以 [*] 因而e
-x
≤f(x)≤1。
解析
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考研数学三
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