2. 考研
  3. 证明推广的积分中值定理：设F(x)与G(x)都是区间[a，b]上的连续函数，且G(x)≥0，G(x)≠0，则至少存在一点ξ∈[a，b]使得 ∫abF(x)G(x)dx=F(ξ)∫abG(x)dx．

证明推广的积分中值定理：设F(x)与G(x)都是区间[a，b]上的连续函数，且G(x)≥0，G(x)≠0，则至少存在一点ξ∈[a，b]使得 ∫abF(x)G(x)dx=F(ξ)∫abG(x)dx．

admin2020-03-15  111
问题 证明推广的积分中值定理：设F(x)与G(x)都是区间[a，b]上的连续函数，且G(x)≥0，G(x)≠0，则至少存在一点ξ∈[a，b]使得
    ∫abF(x)G(x)dx=F(ξ)∫abG(x)dx．
选项
答案设F(x)在[a，b]上的最大值与最小值分别是M与m，利用G(x)≥0且G(x)≠0即知当x∈[a，b]时mG(x)≤F(x)G(x)≤MG(x)， 由定积分的性质即知 m∫abG(x)dx=∫abmG(x)dx≤∫abF(x)G(x)dx≤∫abMG(x)dx=M∫abG(x)dx， 由于G(x)≥0且G(x)≠0，故∫abG(x)dx＞0．从而有 [*] 再由F(x)是以m与M分别为其最小值与最大值的区间[a，b]上的连续函数即知存在ξ∈[a，b]使得 [*] 即∫abF(x)G(x)dx=F(ξ)∫abG(x)dx．
解析
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考研数学三

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