2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0，∫01xf’(x)dx=2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．

设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0，∫01xf’(x)dx=2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．

admin2019-07-10  52
问题 设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0，∫01xf’(x)dx=2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．
选项
答案由分部积分，得 ∫01xf’(x)dx=xf(x)｜01－∫01f(x)dx=－∫01f(x)dx=2， 于是∫01f(x)dx=－2． 由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)－f(1)=f’(η)(x－1)，其中η∈(x，1)， f(x)=f’(η)(x－1)两边对x从0到1积分，得∫01f(x)dx=∫01f’(η)(x－1)dx=－2． 因为f’(x)在[0，1]上连续，所以f’(x)在[0．1]上取到最小值m和最大值M， 由M(x－1)≤f’(η)(x－1)≤m(x－1)两边对x从0到1积分， 得[*]≤∫01f’(η)(x－1)dx≤[*]，即m≤4≤M， 由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．
解析
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考研数学二

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