已知抛物线y=px2+qx(其中p<0,q>0)在第一象限内与直线x+y=5相切,且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S. (I)问p和q何值时,S达到最大值? (Ⅱ)求出此最大值.

admin2022-09-08  6

问题 已知抛物线y=px2+qx(其中p<0,q>0)在第一象限内与直线x+y=5相切,且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.
    (I)问p和q何值时,S达到最大值?
    (Ⅱ)求出此最大值.

选项

答案由题设,抛物线与直线的位置关系如图所示. [*] 抛物线y=pxx+qx与x轴的交点为(0,0)及(- q/p,0),面积[*] 又知抛物线与直线相切,因此二者的公共点唯一,从而方程组[*]有唯一解,可推知px2+(q+1)x-5=0的根的判别式为0, 即△=(q+1)2+20p=0,可解得p=-1/20(1+q)2. 由此[*] 令dS/dq=0,则q=3.当0<q<3时,S(q)>0;当q>3时,S(q)<0;所以q=3时,S(q)取极大值,也即最大值,此时p=- 5/4,Smax=225/32.

解析
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