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设A,B是n阶正定矩阵,则AB为n阶正定矩阵的充分必要条件是AB=BA.
设A,B是n阶正定矩阵,则AB为n阶正定矩阵的充分必要条件是AB=BA.
admin
2020-06-05
22
问题
设A,B是n阶正定矩阵,则AB为n阶正定矩阵的充分必要条件是AB=BA.
选项
答案
必要性 由于A,B,AB是n阶正定矩阵,所以必为对称矩阵,从而 AB=(AB)
T
=B
T
A
T
=BA 充分性 因为(AB)
T
=BTA
T
=BA=AB,所以AB实对称矩阵.又A,B是正定矩阵,那么存在可逆矩阵U,V,使得A=U
T
U,B=V
T
V,从而AB=U
T
UV
T
V,故而 (U
T
)
﹣1
ABU
T
=(U
T
)
﹣1
U
T
UV
T
VU
T
=UV
T
VU
T
=(VU
T
)
T
(VU
T
) 又因为VU
T
可逆,从而(U
T
)
﹣1
ABU
T
正定,进而AB正定.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nNv4777K
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考研数学一
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