设f（x）在（一∞，+∞）内有定义，且对于任意x与y均有f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex，又设f’（0）存在且等于a（a≠0），试证明对任意x，f’（x）都存在，并求f（x）。

admin2017-12-29 76

问题设f（x）在（一∞，+∞）内有定义，且对于任意x与y均有f（x+y）=f（x）e^y+f（y）e^x，又设f’（0）存在且等于a（a≠0），试证明对任意x，f’（x）都存在，并求f（x）。

选项

答案将x=y=0代入f（x+y）=f（x）e^y+f（y）e^x，得f（0）=0，为证明f’（x）存在，则由导数的定义 [*] = f（x）+f’（0）ex=f（x）+ae^x。所以对任意x，f’（x）都存在，且f’（x）=f（x）+ae^x。解此一阶线性微分方程，得 f（x）= e^∫dx[∫ae^xe^—∫dxdx+C]=e^x（ax+C），又因f（0）=0，得C=0，所以f（x）=axe^x。

解析

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考研数学三

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若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0时，φ(n)(x)＞ψ(k)(x0)．试证：当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．
设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(a，b＞0)，在(a，b)内可导，试证：在(a，b)内至少有一点ξ，使等式=f(ξ)一ξf’(ξ)成立．
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