设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．

admin2021-07-27 59

问题设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．

选项 A、A可逆的充分必要条件是其所有特征值非零
B、A的秩等于非零特征值的个数
C、A和A^T有相同的特征值和相同的特征向量
D、若A与同阶矩阵B有相同特征值，则两矩阵必相似

答案A

解析由｜A｜=λ₁，λ₂…λ_n知A可逆的充分必要条件是其所有特征值非零，但一般地，A的秩与其非零特征值的个数未必相等，如矩阵

有一个非零特征值，但其秩为2．A和A^T有相同的特征多项式，故有相同的特征值，但没有相同的特征向量，两矩阵也不相似，同时作为反例，说明了两同阶矩阵有相同特征值未必相似．综上，故选(A)．

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考研数学二

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