设A为n阶矩阵,下列结论正确的是( ).

admin2021-07-27  38

问题 设A为n阶矩阵,下列结论正确的是(          ).

选项 A、A可逆的充分必要条件是其所有特征值非零
B、A的秩等于非零特征值的个数
C、A和AT有相同的特征值和相同的特征向量
D、若A与同阶矩阵B有相同特征值,则两矩阵必相似

答案A

解析 由|A|=λ1,λ2…λn知A可逆的充分必要条件是其所有特征值非零,但一般地,A的秩与其非零特征值的个数未必相等,如矩阵有一个非零特征值,但其秩为2.A和AT有相同的特征多项式,故有相同的特征值,但没有相同的特征向量,两矩阵也不相似,同时作为反例,说明了两同阶矩阵有相同特征值未必相似.综上,故选(A).
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