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设矩阵 矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵A,使B与A相似;并求k为何值时,B为正定矩阵.
设矩阵 矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵A,使B与A相似;并求k为何值时,B为正定矩阵.
admin
2018-07-26
123
问题
设矩阵
矩阵B=(kE+A)
2
,其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵A,使B与A相似;并求k为何值时,B为正定矩阵.
选项
答案
由 |λE-A| [*] =λ(λ-2)
2
=0 得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0. 记对角矩阵 [*] 因A是实对称矩阵,故存在正交矩阵P,使得 P
-1
AP=P
T
AP=D 所以A=PDP
-1
于是 B=(kE+A)
2
=(kPP
-1
+PDP
-1
)
2
=[P(kE+D)P
-1
]
2
=P(kE+D)P
-1
P(kE+D)P
-1
=P(kE+D)
2
P
-1
[*] 由此可得 [*] 亦可由A的特征值为:2,2,0,得kE+A的特征值为:k+2,k+2,k,进而得B=(kE+A)
2
的特征值为:(k+2)
2
,(k+2)
2
,k
2
,从而得实对称矩降B相似于对角阵A. 由上面的结果立刻得到:当k≠-2,且k≠0时,B的特征值均为正数,这时B为正定矩阵.
解析
本题主要考查实对称矩阵及其多项式相似于对角矩阵的问题.注意,若方阵A相似于对角阵,则A的多项也必相似于对角阵.事实上,若存在可逆矩阵P,使
P
-1
AP=D
则对任意正整数m,有P
-1
A
m
P=(P
-1
AP)
m
=D
m
由此可知A的任一多项式也必相似于对角阵.例如,由
P
-1
(A
3
+2A-3E)P=P
-1
A
3
P+2P
-1
AP-3E
即知A的多项式A
3
+2A-3E相似于对角阵.本题第1种解法就是这个思想.
另外,B为实对称矩阵,所以B必相似于对角阵A,而且A的主对角线元素就是B的全部特征值,因而,只要求出了B的全部特征值,也就求出了对角阵A.这就是本题第2种解法的思想.
还需注意,本题只要求求出B的相似对角矩阵,不必求出相似变换的矩阵P.
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考研数学三
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