首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设矩阵 矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵A,使B与A相似;并求k为何值时,B为正定矩阵.
设矩阵 矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵A,使B与A相似;并求k为何值时,B为正定矩阵.
admin
2018-07-26
119
问题
设矩阵
矩阵B=(kE+A)
2
,其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵A,使B与A相似;并求k为何值时,B为正定矩阵.
选项
答案
由 |λE-A| [*] =λ(λ-2)
2
=0 得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0. 记对角矩阵 [*] 因A是实对称矩阵,故存在正交矩阵P,使得 P
-1
AP=P
T
AP=D 所以A=PDP
-1
于是 B=(kE+A)
2
=(kPP
-1
+PDP
-1
)
2
=[P(kE+D)P
-1
]
2
=P(kE+D)P
-1
P(kE+D)P
-1
=P(kE+D)
2
P
-1
[*] 由此可得 [*] 亦可由A的特征值为:2,2,0,得kE+A的特征值为:k+2,k+2,k,进而得B=(kE+A)
2
的特征值为:(k+2)
2
,(k+2)
2
,k
2
,从而得实对称矩降B相似于对角阵A. 由上面的结果立刻得到:当k≠-2,且k≠0时,B的特征值均为正数,这时B为正定矩阵.
解析
本题主要考查实对称矩阵及其多项式相似于对角矩阵的问题.注意,若方阵A相似于对角阵,则A的多项也必相似于对角阵.事实上,若存在可逆矩阵P,使
P
-1
AP=D
则对任意正整数m,有P
-1
A
m
P=(P
-1
AP)
m
=D
m
由此可知A的任一多项式也必相似于对角阵.例如,由
P
-1
(A
3
+2A-3E)P=P
-1
A
3
P+2P
-1
AP-3E
即知A的多项式A
3
+2A-3E相似于对角阵.本题第1种解法就是这个思想.
另外,B为实对称矩阵,所以B必相似于对角阵A,而且A的主对角线元素就是B的全部特征值,因而,只要求出了B的全部特征值,也就求出了对角阵A.这就是本题第2种解法的思想.
还需注意,本题只要求求出B的相似对角矩阵,不必求出相似变换的矩阵P.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1HW4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
随机地向半圆(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比,用X表示原点到该点连线与x轴正方向的夹角,求X的概率密度.
已知随机变量Y~N(μ,σ2),且方程x2+x+Y=0有实根的概率为,则未知参数μ=_______.
已知A=,矩阵X满足A*X=A-1+2X,其中A*是A的伴随矩阵,则X=______.
试确定a和b的值,使f(x)=有无穷间断点x=0,有可去间断点x=1.
求微分方程y’’+4y’+5y=8cosx的当x→-∞时为有界函数的特解.
设(Ⅰ)函数f(x)在[0,+∞)上连续,且满足f(0)=0及0≤f(x)≤ex-1;(Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex-1分别交于点P2和P1;(Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于
已知α1=(1,-1,1)T,α2=(1,t,-1)T,α3=(t,1,2)T,β=(4,t2,-4)T,若β可以由α1,α2,α3线性表出且表示法不唯一,求t及β的表达式.
计算行列式Dn=之值.
由曲线y=lnx与两直线y=e+1-x及y=0围成平面图形的面积S=______.
设λ=2是可逆矩阵A的一个特征值,则的一个特征值是
随机试题
根据《建设工程施工合同(示范文本)》(GF—99—0201)规定,()应按照合同约定负责施工场地及其周边环境与生态的保护工作。
下列属于财务管理风险对策的有()。
直到完成使命,他才意识到自己得了重病。
______LiuXiangfailedtocompeteinthe2008BeijingOlympicGames,heisstillaherointheeyesofourChinesepeople.
某养鸡场散养的1000只肉仔鸡,30H龄起大批鸡精神委顿,食欲减退,双翅下垂,羽毛逆立,下痢至排大量血便,1周内死亡率在30%以上。病死鸡剖检病变主要发生在()
强心苷的药理作用不包括
2006年9月20日,中国A市甲公司作为买方与作为卖方的位于意大利B市的乙公司在北京签订购买由意大利丙公司生产的钢琴1万架的合同。后来,钢琴按时运抵甲公司,但甲公司验货后发现该批钢琴质量存在严重缺根据上述案情,请回答以下问题:陷,于是甲公司要求乙公司退还相
根据《水利水电工程等级划分及洪水标准》SL252--2000,下列永久建筑物的级别可提高一级的有()。
在数据库中,建立索引的主要作用是
A、No,that’smyaunt’s.B、No,that’smymother.C、Yes,Ilovemymother.A
最新回复
(
0
)