设α1，α2，…，αn是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。

admin2017-12-29 66

问题设α₁，α₂，…，α_n是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。

选项

答案必要性：α₁，α₂，…，α_s是线性无关的一组n维向量，因此r（α₁，α₂，…，α_n）=n。对任一n维向量b，因为α₁，α₂，…，α_s，b的维数n小于向量的个数n+1，故α₁，α₂，…，α_n，b线性相关。综上所述r（α₁，α₂，…，α_n，b）=n。又因为α₁，α₂，…，α_n线性无关，所以n维向量b可由α₁，α₂，…，α_n线性表示。充分性：已知任一n维向量b都可由α₁，α₂，…，α_n线性表示，则单位向量组：ε₁，ε₂，…，ε_n可由α₁，α₂，…，α_n线性表示，即 r（ε₁，ε₂，…，ε_n）=n≤r（α₁，α₂，…，α_n），又α₁，α₂，…，α_n是一组n维向量，有r（α₁，α₂，…，α_n）≤n。综上，r（α₁，α₂，…，α_n）=n。所以α₁，α₂，…，α_n线性无关。

解析

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考研数学三

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设α1，α2，…，αn是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。

考研数学三

微分方程的通解是________．

设，求实对称矩阵B，使A=B2．

设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，x1，x2是分别属于λ1和λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．证明：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量．证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．

求下列函数的导数：y=aax+axx+axa+aaa(a＞0)；

求下列极限．

求下列极限．

求级数的和函数．

设f(x)有二阶连续导数，且(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，则

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设函数y=y(x)由参数方程

已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y’’+3y’+2y=f(x)的通解．

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下列关于马斯洛需要层次理论的说法中，不正确的是(　　)。

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