设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=,f(1)=1,f’(1)=1,证明: 存在η∈(0,1),使得f"(η)+f’(η)一η=1.

admin2020-10-21  32

问题 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=,f(1)=1,f’(1)=1,证明:
存在η∈(0,1),使得f"(η)+f’(η)一η=1.

选项

答案取G(x)=[f(x)一x]ex,则G’(x)=[f"(x)+f’(x)一x一1]ex, 显然G(x)在[ξ,1]上连续,在(ξ,1)内可导,G(ξ)=G(1)=0,由罗尔定理,存在η∈(ξ,1) [*](0,1),使得 G’(η)=[f"(η)+f’(η)一η—1]η=0,即f"(η)+f’(η)一η=1.

解析
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