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  3. [2014年] 证明n阶矩阵相似．

[2014年] 证明n阶矩阵相似．

admin2019-05-10  141
问题 [2014年]  证明n阶矩阵相似．
选项
答案由命题2．5．3．1(3)知只需证明两矩阵相似于同一对角矩阵． 证 记[*]，因A为实对称矩阵必可对角化． 由∣λE—A∣=λn一nλn-1=λN-1(λ一n)=0可知A的特征值为n，0，0，…，0(n一1个0特征值)(或由命题2．5．1．3即得)，故A～diag(n，0，0，…，0)=Λ．又由∣λE—B∣=(λ一n)λn-1=0得到B的n个特征值为n，0，0，…，0(n一1个零特征值)． 当λ=0时，秩(0E一B)=秩(B)=1，则n－秩(0E—B)=n－1，即齐次方程组(0E—B)X=0有n一1个线性无关的解，亦即λ=0时，B有n一1个线性无关的特征向量． 又λ=n时，秩(nE一B)=n一1，则n－秩(nE—B)=n一(n一1)=1，即齐次线性方程组(nE一B)X=0有一个线性无关的解，亦即B的属于特征值λ=n的线性无关的特征向量只有一个，从而B有n个线性无关的特征向量，于是B必与对角矩阵相似，且B～Λ=diag(n，0，0，…，0)，由相似的传递性：A～Λ～B得到A～B． 或由A～Λ存在可逆矩阵P1使P1-1AP1=Λ，由B～Λ知存在可逆矩阵P2-1BP2=Λ， 于是由P1-1AP1=P2-1BP2，得到P2P1-1AP1P2-1=(P1P2-1)-1AP1P2-1=B，令P=P1P2-1，则P可逆，且使P-1AP=B(此法常称为用合成的方法求可逆矩阵P)，因而A～B．
解析
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考研数学二

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