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考研
[2014年] 证明n阶矩阵相似.
[2014年] 证明n阶矩阵相似.
admin
2019-05-10
107
问题
[2014年] 证明n阶矩阵
相似.
选项
答案
由命题2.5.3.1(3)知只需证明两矩阵相似于同一对角矩阵. 证 记[*],因A为实对称矩阵必可对角化. 由∣λE—A∣=λ
n
一nλ
n-1
=λ
N-1
(λ一n)=0可知A的特征值为n,0,0,…,0(n一1个0特征值)(或由命题2.5.1.3即得),故A~diag(n,0,0,…,0)=Λ.又由∣λE—B∣=(λ一n)λ
n-1
=0得到B的n个特征值为n,0,0,…,0(n一1个零特征值). 当λ=0时,秩(0E一B)=秩(B)=1,则n-秩(0E—B)=n-1,即齐次方程组(0E—B)X=0有n一1个线性无关的解,亦即λ=0时,B有n一1个线性无关的特征向量. 又λ=n时,秩(nE一B)=n一1,则n-秩(nE—B)=n一(n一1)=1,即齐次线性方程组(nE一B)X=0有一个线性无关的解,亦即B的属于特征值λ=n的线性无关的特征向量只有一个,从而B有n个线性无关的特征向量,于是B必与对角矩阵相似,且B~Λ=diag(n,0,0,…,0),由相似的传递性:A~Λ~B得到A~B. 或由A~Λ存在可逆矩阵P
1
使P
1
-1
AP
1
=Λ,由B~Λ知存在可逆矩阵P
2
-1
BP
2
=Λ, 于是由P
1
-1
AP
1
=P
2
-1
BP
2
,得到P
2
P
1
-1
AP
1
P
2
-1
=(P
1
P
2
-1
)
-1
AP
1
P
2
-1
=B,令P=P
1
P
2
-1
,则P可逆,且使P
-1
AP=B(此法常称为用合成的方法求可逆矩阵P),因而A~B.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1VV4777K
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考研数学二
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