用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x2x3化为标准形，并给出所施行的正交变换。

admin2018-02-07 28

问题用正交变换将二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²一2x₂²一2x₃²一4x₁x₂+4x₁x₃+8x₂x₃化为标准形，并给出所施行的正交变换。

选项

答案二次型的矩阵为A=[*]，特征多项式为｜λE一A｜=[*]=(λ一2)²(λ+7)，矩阵A的特征值为λ₁=一7，λ₂=λ₃=2。由(λ_iE一A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ_i=一7和λ₂=λ₃=2对应的特征向量分别为 α₁=(1，2，一2)^T，α₂=(一2，1，0)^T，α₃=(2，0，1)^T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α₂，α₃正交化，即 β₂=α₂=(一2，1，0)^T，β₃=α₃一[*](2，4，5)^T，再将α₁，β₂，β₃单位化，即 [*] 则二次型x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为一7y₁²+2y₂²+2y₃²。

解析

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考研数学二

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用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x2x3化为标准形，并给出所施行的正交变换。

考研数学二

证明：[*]

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